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J. A. M. Felippe de Souza

Integrais (resumo e tabela)

Integrais
A integral indefinida de uma função f(t) é representada como

∫ f ( τ) ⋅ dτ
Por outro lado, a integral definida, representada como

∫

b

a

∫

f ( τ) ⋅ d τ ,

b

−∞

f 3 ( τ) ⋅ d τ

∫

ou

∞

a

f ( τ) ⋅ dτ

faz a Soma de Riemann que calcula a área sob a curva em m intervalo bem definido como por exemplo:
[a,b],

] -∞ , b ]

[ a , ∞ [.

ou

Este nome acima é dado em alusão ao matemático alemão Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826-1866).
A integral é um processo inverso do da derivada de funções pois,

∫

f ′ (t ) dt =

df
∫ dt ( t ) dt =

ou

d dt df ( t )
∫ dt dt =

∫ df

= f (t ) + C

( ∫ f (t ) ⋅ dt ) = f (t ) .

Mais precisamente: t F( t ) = ∫ f ( t ) ⋅ dt a é chamada de primitiva de f(t).
Este resultado é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo e faz a interligação entre o Cálculo Diferencial (secção anterior) e o Cálculo Integral (desta secção).
Algumas regras de integração de funções em geral

∫

a f (t ) dt = a ⋅ ∫ f (t ) dt + C

∫ [ f (t ) + g (t ) ] dt

∫ [ f ′ (t ) ⋅ g (t ) ] dt

=

∫ f (t ) dt + ∫ g (t ) dt

(regra da homogeneidade)
+ C

= f (t ) ⋅ g( t ) + ∫ f ( t ) ⋅ g ′(t ) dt
1

(regra da aditividade)
(regra da integral por partes)

J. A. M. Felippe de Souza

Integrais (resumo e tabela)

Se definirmos então u (t ) = g(t )

e

v(t ) = f ( t )

du = g ′( t ) ⋅ dt

e

dv = f ′( t ) ⋅ dt

e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma:

∫ u ⋅ dv

= uv − ∫ v du

Por outro lado, se

u(t) = f (t )

du = f ′( t ) ⋅ dt ,

e

então a integral definida é calculada como:

∫

b

a

du = u ] a = u (b) − u (a ) b Fig. 1 – A área S sob a curva f(t) no intervalo definido [ a, b ].

A integral definida desde a até b da função f

∫

b

a

f ( τ) ⋅ d τ = S

é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1.
2

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Integrais (resumo e tabela)

A figura 2 mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do eixo