Sólidos platonicos - octaedro

Instituto Politécnico da Guarda – ESTG
Fundamentos de Projecto – Matemática
Guarda, 27 de Janeiro de 2012

Octaedro Dual
Trabalho de Pesquisa e Relatório

Ângela Margarida Geraldes nº9677
Design de Equipamento 3ºano

1.Poliedros – Sólidos Platónicos

1.1. História

A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura e noutros objectos que construíram.
Estes sólidos foram adquirindo, ao longo do tempo, diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler tinha tamanha admiração e reverência por eles que chegou a tentar associa-los aos movimentos planetários. Além disso, decifrou as associações de Platão no Harmonices Mundi, da seguinte forma:

1.2.Porquê apenas cinco?
Uma prova de que os sólidos platónicos se tratam apenas de cinco, pode ser obtida através do processo da sua construção, tal como Platão descreveu num dos seus textos, incluídos no Diálogo Timeu.
Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares congruentes.
Comecemos por considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com menos lados. Quantos poliedros, cujas faces empregam unicamente este polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros.
Com dois triângulos equiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos equiláteros é possível constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro. Esta possibilidade prende-se com facto de a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adjacentes, no vértice, ser inferior a 360º, exactamente 180º.
Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos adjacentes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro.

Considerando cinco desses triângulos num vértice,