Problematica

Os poliedros

Histórias da Geometria

Os poliedros
Não é possível conhecer em que circunstâncias históricas começou e se desenvolveu o interesse pelos poliedros, identificados como sólidos de faces planas. Do ponto de vista matemático, existem fontes egípcias, chinesas e babilónicas contendo a resolução de problemas relativos a pirâmides.
No Papiro de Rhind 1 existem diversos problemas relativos ao declive das faces de uma pirâmide.
Como sugere V. Katz, o valor do declive era essencial para os construtores das pirâmides, e na realidade os valores concretos referidos nesses problemas são aproximadamente iguais aos declives das três pirâmides de Gizeth.2 No Papiro de Moscovo3 é apresentada a fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide de base quadrada, embora a fórmula para o volume da pirâmide não apareça em nenhuma fonte egípcia. Assim, não se conhece como chegaram os egípcios aquela fórmula. No texto que acompanha a figura e os cálculos (fig. 1) é dito:
Se te é posto o problema, um tronco de pirâmide tem 6 cúbitos de altura,
4 cúbitos de base, por 2 cúbitos no topo.
Calcula com o 4, quadrando. Resultado 16.
Calcula 2 vezes 4. Resultado 8.
Calcula com o 2, quadrando. Resultado 4.
Adiciona este 16 com este 8 e com este 4. Resultado 28.
Calcula 1/3 de 6. Resultado 2.
Calcula com o 28, vezes 2. Resultado 56.
É 56. Encontraste o resultado certo.

Figura 1. Extracto do Papiro de
Moscovo com a resolução do problema do cálculo do volume do tronco de pirâmide.

(

)

h 2 a + ab + b 2 ,
3
onde h é a altura da pirâmide, e a e b são os comprimentos dos lados das bases quadradas do tronco de pirâmide. Em notações actuais, a fórmula descrita neste texto egípcio corresponde a V =

Nos Nove Capítulos da Arte Matemática (Jiuzhang Suanshu 4) aparece a mesma fórmula, e também a fórmula do volume da pirâmide. Da mesma forma, existem tabletes babilónicas contendo problemas de cálculo de volumes de troncos de pirâmides e de outros