Séries de Fourier Solução Analítica e em MATLAB

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas – ICEA
Campus João Monlevade

Relatório I - Séries de Fourier
Aluno: Marcus Vinicius de Paula
Professor: Fabrício Javier Erazo Costa
Disciplina: Fundamentos de Comunicações Curso: Engenharia Elétrica
Data de Entrega: 02/05/2012
Conteúdo: Séries de Fourier

1. Objetivos
Neste relatório, serão calculadas as séries trigonométricas de Fourier de três funções, de forma analítica e computacional. No modo computacional, serão explicitados os coeficientes ao, an e bn das séries para diversos casos em que o número de harmônicos
(n) variar. Por final, serão gerados os gráficos destes sinais (para diferentes valores de n) a fim de se fazer uma analise comparativa.
2. Desenvolvimento
2.1. Cálculo Analítico
Encontre a série trigonométrica de Fourier das funções a seguir:
a) Onda Triangular

Figura 1: Onda Triangular

f(t) =

ቁ , 0 < t < ܶൗ2
ସ௧
‫ ܣ‬ቀ3 െ ቁ , ܶൗ2 < t < T
்
‫ ܣ‬ቀെ1 ൅

ସ௧
்

Onde T é o período do sinal

ܽ௢ ൌ

1 ௧ା்
න ݂ሺ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬
ܶ ௧

1 ்/ଶ
4‫ݐ‬
1 ்
4‫ݐ‬
ܽ௢ ൌ න ‫ ܣ‬൬െ1 ൅ ൰ ݀‫ ݐ‬൅ න ‫ ܣ‬൬3 െ ൰ ݀‫ݐ‬
ܶ ଴
ܶ
ܶ ்/ଶ
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Fundamentos de Comunicações (CEA 582) - Engenharia Elétrica

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas – ICEA
Campus João Monlevade

ܽ௢ ൌ 0
2 ௧ା்
ܽ௡ ൌ න ݂ሺ‫ݐ‬ሻcos ሺ݊‫ݓ‬௢ ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬
ܶ ௧

݊ ൌ 1,2,3 …

Onde wo é a freqüência fundamental do sinal e n é o número de harmônicos.

ܽ௡ ൌ

2 ்/ଶ
4‫ݐ‬
2 ்
4‫ݐ‬
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ܶ
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ܽ௡ ൌ

Fazendo wo =

೅

ଶ஺ ቂ଼ ୡ୭ୱቀ௡௪೚ మ ቁ ି ସ ି ௡௪೚ ்௦௘௡ሺ௡௪೚ ்ሻ ି ସୡ୭ୱ ሺ௡௪೚ ்ሻቃ
௡మ ௪೚మ ் మ

ଶπ
்

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‫ܣ‬ሾ4ሺെ1ሻ௡ െ 4ሿ
݊ଶ ߨ ଶ

2 ௧ା்
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݊ ൌ 1,2,3 …

2 ்/ଶ
4‫ݐ‬
2 ்
4‫ݐ‬
ܾ௡ ൌ න ‫ ܣ‬൬െ1 ൅ ൰ sen ሺ݊‫ݓ‬௢ ‫ݐ‬ሻ݀‫ ݐ‬൅ න ‫ ܣ‬൬3 െ ൰ sen ሺ݊‫ݓ‬௢ ‫ݐ‬ሻ݀‫ݐ‬
ܶ ଴
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2‫ ܣ‬ቂ8 sen ቀ݊‫ݓ‬௢ ቁ ൅ ݊‫ݓ‬௢ ܶܿ‫ݏ݋‬ሺ݊‫ݓ‬௢ ܶሻ െ 4 senሺ݊‫ݓ‬௢ ܶሻ െ ݊‫ݓ‬௢ ܶቃ
2
ܾ௡ ൌ
݊ଶ ‫ݓ‬௢ଶ ܶ ଶ
Fazendo wo =

ଶπ
்

ܾ௡ ൌ 0 f(t) = ao + ∑∞
௡ୀଵ ܽ௡ cosሺ݊‫ݓ‬௢ ‫ݐ‬ሻ ൅ ܾ௡ senሺ݊‫ݓ‬௢ ‫ݐ‬ሻ f(t) =

∑∞