Série de Taylor

0.1

Expansão em Série de Taylor de Uma Função

Numa análise de propriedade de uma função, um conceito fundamental é a expansão em série de Taylor de uma função. Seja f = f (x) uma função arbitrária, contínua e suave. Gostaríamos de estudar o comportamento desta função em torno de um certo ponto fixo, digamos x = x0 . Naturalmente o valor da função no ponto x = x0 é f (x0 ). Queremos saber como o valor da função varia quando x = x0 + ε, onde ε = δx ≡ x − x0 é uma quantidade bem pequena.
Para estudar este problema, vamos ver a figura abaixo.

y=f(x)

y=f(x ) + f'(x )(x-x )
0
0
0

x
0

x

Fig.1
A reta indicada é a reta tangente desta função no ponto x = x0 . Aqui,
¯
df ¯
0
¯ f (x0 ) = dx ¯x=x0

é a derivada no ponto x = x0 . Esta figura mostra que, quando x é muito próximo do x0 , a reta tangente praticamente coincide com a função f (x) em si.
Isto é, f (x) ' f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) , ou seja definindo o novo variável ε por ε = δx = x − x0 , podemos escrever f (x0 + ε) ' f (x0 ) + f 0 (x0 ) ε.
Exercício: Calcule o erro da expressão (1) nos seguintes casos:
1.
f (x) = exp(x), x0 = 0, δx = 0.2
2.
f (x) = cos(x), x0 = 0, δx = 0.2
3.
f (x) = sin(x), x0 = 0, δx = 0.2
1

(1)

4. f (x) = sin(x), x0 = 0, δx = 0.5
Vejamos que, de fato, a aproximação (1) é bastante boa enquanto δx é pequeno. Mas, naturalmente a aproximação vai piorando na medida que δx se torna maior. Para melhorar a aproximação, podemos incluir a dependência quadrática em δx como f (x0 + ε) ' f0 + f 0 (x0 )ε + C ε2 ,

(2)

onde C é uma constante a ser determindada. Naturalmente esta expressão ainda é uma aproximação e não é possível que os dois lados se tornem idênticos como função de ε. Por outro lado, a aproximação linear (Eq.(1, ou os primeiros dois termos da Eq.(??) acima) já ajustava a curva no ponto x = x0 até a derivada.
Assim, para melhorar aproximação em torno de x = x0 , é interessante que o último termo na Eq.(??) ajustasse a