Série de Taylor

SÉRIE DE TAYLOR

Palavras-Chave: Séries Alternadas, Erro de truncamento e Aritmética Computacional Finita.

1. INTRODUÇÃO

Cálculo numérico é a disciplina que visa introduzir os fundamentos dos métodos numéricos básicos utilizados na solução de problemas matemáticos, algébricos e diferenciais. Este ainda pretende analisar a influência dos erros introduzidos nas aproximações construtivas desses problemas bem como a implementação computacional eficiente dos respectivos métodos de aproximação. Os erros computacionais ocorrem devido a sua aritmética finita.
Hoje em dia, os computadores utilizam uma técnica chamada Série de Taylor para calcular funções, que dependendo de seus valores, podem tender ao infinito. Um exemplo de função seria a função seno. Matematicamente pode ser mostrado que sen(x), é a soma de uma série infinita, como mostrada a seguir: (1)

Apesar de a série ser infinita, é de conhecimento geral que a aritmética computacional é finita, portanto, normalmente é escolhido um limite para esse cálculo. Até porque se os computadores calculassem infinitamente, o resultado nunca seria mostrado, já que o cálculo nunca terminaria.
Contudo, ao se escolher um limite, ocorre o erro de truncamento, que é um erro que aparece ao fazer a troca de uma série infinita por uma série finita.
Embora ainda haja pessoas que não levem esse erro muito a sério, existem exemplos onde um pequeno erro como esse, de um tamanho realmente pequeno, fizessem um grande estrago.
Em Fevereiro de 1991, durante a Guerra do Golfo, uma bateria de mísseis americanos não conseguiu detectar e interceptar mísseis iraquianos por conta de um cálculo impreciso do tempo de arranque devido a erros aritméticos computacionais. Por causa disso, houve um erro em torno de 0,34 segundos, e com isso 28 soldados acabaram morrendo, e mais de 100 pessoas ficaram feridas.
Outro exemplo de erro é quando não se utiliza a variável correta,