Supline cubico

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Spline cúbico
Como discutido em Fórmula de Lagrange, um inconveniente do uso desta aproximação polinomial é que não temos controle sobre a continuidade das derivadas nas junções das regiões interpoladas, ou seja, nas interfaces. Entretanto, na grande maioria dos problemas de fisica, basta garantir o bom comportamento das derivadas 1a e 2a. Por este motivo, os splines cúbicos são bastante populares.

Inicialmente, vamos considerar uma interpolação linear , válida entre os pontos e , obtida a partir da Fórmula de Lagrange:

onde

foram introduzidos por conveniência. Em aplicações nas quais as propriedades das derivadas são importantes, sérias dificuldades são encontradas com esta fórmula pois a derivada 2a é infinita nas fronteiras entre e , devido à descontinuidade da derivada 1a. Além disso, embora o coeficiente angular da reta secante entre os pontos e possa fornecer uma aproximação razoável para a derivada 1a no intervalo , a derivada segunda é nula nesta região.
Podemos resolver estas dificuldades acrescentando dois termos à expressão acima:

Como, por hipótese, dispomos apenas de uma tabela com os valores , a derivada segunda em cada ponto aparece aqui como um parâmetro. Por enquanto, vamos continuar como se fosse um dado do problema. Mais à frente, veremos como proceder. As funções precisam ser escolhidas convenientemente para se garantir que . Como estamos interessados em uma expressão cúbica, a forma funcional de já fica bastante limitada. Veremos, a seguir que:

asseguram que , uma vez que

pois

Com a introdução destes termos, a derivada de torna-se:

trazendo, claramente, contribuições lineares e quadráticas em , além do termo associado à reta secante. A derivada segunda, assume uma forma bastante simples:

com uma dependência linear em . Esta expressão mostra que as derivadas segundas possuem exatamente os valores desejados nas fronteiras, , resolvendo os problemas mencionados