Superficies quadraticas - resumo

Superf´ ıcies Qu´dricas - C´lculo II a a

2004-1 ´ SUPERF´ ICIES QUADRICAS Notas de aula - professora Marlene

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As formas canˆnicas da equa¸˜o de 2o . grau a trˆs vari´veis o ca e a Para facilitar a compreens˜o, as formas canˆnicas est˜o agrupadas em 3 tipos de equa¸˜es (I, II e III). a o a co ca o ca ca Seja (x, y, z) ∈ R3 ; x, y e z satisfazem a equa¸˜o canˆnica dada o conjunto solu¸˜o da equa¸˜o. Ver procedimento para identificar as representa¸˜es geom´tricas deste conjunto solu¸˜o, ap´s a descri¸˜o de todas as co e ca o ca formas canˆnicas. o (I) Aparecem as trˆs vari´veis e a (I.a) Os coeficientes de x2 , y 2 e z 2 s˜o todos n˜o nulos. a a z x2 y2 z2 1. 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2. x2 y2 z2 + 2 + 2 = −1 a2 b c ∅

elips´ide (a, b e c n˜o iguais) o a x y

esfera (a = b = c)

x2 y2 z2 3. 2 + 2 − 2 = 1 a b c x2 y2 z2 4. 2 + 2 − 2 = −1 a b c x2 y2 z2 5. 2 + 2 − 2 = 0 a b c 6. x2 y2 z2 + 2 + 2 =0 a2 b c

z

x

y

hiperbol´ide de uma folha o

z

x

y

hiperbol´ide de duas folhas o

z

x

y

cone de duas folhas

(0, 0, 0)

ponto

(I.b) Apenas um dos coeficientes de x2 , y 2 e z 2 ´ nulo. e x2 y2 + 2 − cz = 0 2 a b z 7.

parabol´ide el´ o ıptico (a = b) x z y

parabol´ide circular (a = b) o

x2 y2 8. 2 − 2 − cz = 0 a b

parabol´ide hiperb´lico (sela) o o x y

(I.c) Um dos coeficientes de x2 , y 2 e z 2 n˜o ´ nulo e os outros dois s˜o nulos. a e a z x2 9. 2 − by − cz = 0 a

calha parab´lica o x y

(II) Aparecem apenas duas das vari´veis. a x2 y2 10. 2 + 2 = 1 a b 11. 12. x2 y2 + 2 = −1 a2 b y2 x2 + 2 =0 2 a b ∅ eixo z reta z cilindro el´ ıptico (a = b) x y

cilindro circular (a = b)

Superf´ ıcies Qu´dricas - C´lculo II a a x2 y2 13. 2 − 2 = 1 a b 14. item x2 y2 − 2 =0 2 a b z z

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cilindro hiperb´lico o x z

par de planos concorrentes em uma reta x 15. y 2 − cx = 0 x y

cilindro parab´lico o

(III) Aparece apenas uma vari´vel a z 16. x2 − a2 = 0 x y

par de