Substituiçao trigonometrica

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Professora: Isolda Giani de Lima

PRÁTICA PEDAGÓGICA 3

Método de Integração por Substituição Trigonométrica

BRUNA TIZATTO ELAINE TONIETTO

Caxias do Sul 2008

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Método de Integração por Substituição Trigonométrica Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a fórmula do disco da prática 1 que era: Þ a 2 x 2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma fórmula do livro. Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma

Þ a2 x2

Þ a2  x2

Þ x2 a2

constante - parte variável constante  parte variável parte variável - constante

nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas. Relação Fundamental da Trigonometria sin   cos   1 Relação Secundária 1  tan 2   sec 2  sec 2  1  tan 2 
2 2



1 1

sin 2   cos 2  cos 2   sin 2 

Idéia do método
A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições: 1 1 sin 2   cos 2  cos 2   sin 2 

Þ a2 x2 Þ a2  x2 Þ x2 a2

substituir por

substituir por 1  tan 2   sec 2  sustituir por sec 2  1  tan 2  x 2 podemos fazer a substituição

Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a 2 x  a sin  . Então, a x2 
2

a2

a sin 

2



a2

a 2 sin 2  

a2 1

sin 2 

a

cos 2 

 a. cos 

2

Exemplos:
Exemplo 1: Þ
3 3

9

x 2 dx

Primeiro vamos calcular a integral indefinida. Podemos observar que esta integral é do tipo: Þ a 2 x 2 , ou seja, constante menos parte variável. Sendo assim, devemos escolher entre as duas relações: 1 1 sin 2   cos 2  ou cos