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substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição Trigonométrica[editar | editar código-fonte]
Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria sen^2 \theta\ + cos^2 \theta\ = 1

É fácil de perceber, que as funções sen^2 \theta e cos^2 \theta podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

cos^2 \theta\ = 1- sen^2 \theta sen^2 \theta\ = 1-cos^2 \theta
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por cos^2 \theta

sen^2 \theta\ + cos^2 \theta\ = 1
\frac{sen^2 \theta}{cos^2 \theta} + \frac{cos^2 \theta}{cos^2 \theta} =\frac{1}{cos^2 \theta}
Resultando em:

tan^2 \theta\ = sec^2 \theta\ - 1
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

1-sen^2 \theta\ = cos^2 \theta para \sqrt{a^2-x^2}, sendo a uma constante positiva.
1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta para \sqrt{a^2+x^2}, com a > 0
\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta para \sqrt{x^2-a^2}, sendo a maior do que zero, constante.
Substituição inversa[editar | editar código-fonte]
Deve ser ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

u = \phi\ (x) x=\phi\ ^ {-1}(u) , dx=[\phi\ ^ {-1}]'(u) du \int f(x)dx =\int f(u)[\phi\