Soma de pa

Considere, ainda, que S(n)=(a1+an)n/2 é a função que representa a soma dos n primeiros membros da P.A. Assim, pede-se que mostre que

S(n+3)-3S(n+2)+3S(n+1)-S(n)=0

S(n+3) - 3.S(n+2) + 3.S(n+1) - S(n) = 0

É fácil notar que a diferença entre a soma de "n+1" termos e a soma dos "n" termos anteriores é sempre igual ao termo an+1.

(a1 + a2 + ... + an + an+1)
(-)
(a1 + a2 + ... + an)
---------------------------------------
an+1

Portanto,

S(n+1) = S(n) + an+1

S(n+2) = S(n) + an+1 + an+2

S(n+3) = S(n) + an+1 + an+2 + an+3

Portanto, aplicando as identidades acima à equação proposta, teremos que:

S(n+3) - 3.S(n+2) + 3.S(n+1) - S(n) = 0

S(n) + an+1 + an+2 + an+3 - 3.(S(n) + an+1 + an+2) + 3.(S(n) + an+1) - S(n) = 0

S(n) + an+1 + an+2 + an+3 - 3.S(n) - 3.an+1 - 3.an+2 + 3.S(n) + 3an+1 - S(n) = 0

Cancelando os termos iguais com sinais contrários, temos:

an+1 + an+2 + an+3 - 3.an+2 = 0

Em função do teorema do termo médio de uma P.A., sabemos que

an+2 = (an+1 + an+3) / 2

an+1 + an+3 = 2.(an+2)

Portanto,

2.(an+2) + an+2 - 3.an+2 = 0

3.(an+2) - 3.(an+2) = 0

0 = 0

Como chegamos a uma identidade (0 = 0) a partir da equação proposta, concluímos que ela é verdadeira.