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Manual de Soluções • Econometria Básica • Gujarati
CAPÍTULO 3
MODELO DE REGRESSÃO DE DUAS VARIÁVEIS: O PROBLEMA DA ESTIMAÇÃO

3.1 (1) Yi = β1+ β2Xi + ui, logo, E(Yi|Xi) = E[(β1+ β2Xi + ui)|Xi]
E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi + E(ui|Xi), visto que β1e β2 são constantes e X é não-estocástico.
E(Yi|Xi) = β1+ β2Xi, já que E(ui|Xi) = 0, por premissa.
(2) Dado que cov(uiuj)=0 para todo i,j (i≠j), então cov(YiYj) = E{[Yi - E(Yi)] [Yj - E(Yj)]} cov(YiYj) = E(uiuj), dos resultados em (1) cov(YiYj) = E(ui)E(uj), porque é premissa que os termos de erro não estão correlacionados, cov(YiYj) = 0, já que o valor médio de ui é zero, por premissa.
(3) Dado que var(ui|Xi) = σ2, var(Yi|Xi) = E[Yi - E(Yi)]2 = E(ui2) = var(ui|Xi) = σ2, por premissa. 3.2

Logo, βˆ2 =

∑x y
∑x
i

i

2 i Yi

Xi

yi

xi

xi yi xi 2

4

1

–3

–3

9

9

5

4

–2

0

0

0

7

5

0

1

0

1

12

6

5

2

10

4

soma

28

16

0

0

19

14

Nota:

Y = 7 e X = 4.

=

19
= 1,357; βˆ1 = Y − βˆ2 X = 1,572.
14

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3.3 A FRP é: Yi = β1+ β2Xi + ui.
Situação 1: β1 = 0, β2 = 1, e E(ui) = 0, resultando E(Yi|Xi) = Xi
Situação 2: β1 = 1, β2 = 0, e E(ui) = (Xi –1), o que dá E(Yi|Xi) = Xi, o mesmo resultado da situação 1.
Logo, sem a premissa E(ui) = 0, não se pode estimar os parâmetros porque, como acabamos de demonstrar, a mesma distribuição condicional de Y é obtida, embora os valores presumidos dos parâmetros sejam bem diferentes nas duas situações.

3.4 Impondo a primeira restrição, obtemos:

∑ uˆ = ∑ (Y − βˆ − βˆ X ) = 0 , equação que, simplificada, dá a primeira equação i i

1

2

i

normal.
Impondo a segunda restrição, obtemos:

∑ uˆ X = ∑ ⎡⎣(Y − βˆ − βˆ X ) X ⎦⎤ = 0 , equação que, simplificada, dá a segunda equação i i

i

1

2

i

i

normal.
A primeira restrição corresponde à premissa de que E(ui|Xi) = 0. A segunda restrição corresponde à premissa de que não há correlação entre o termo de erro populacional e a variável explanatória Xi, isto é, cov(uiXi)=0.

3.5 Da