Resoluções teoria dos números

CAPÍTULO 1 - QUESTÕES 1 A 12

01 – Calcular a soma dos “n” primeiros inteiros positivos.
SOLUÇÃO:- Vamos escrever a soma dos n primeiros números inteiros positivos em ordem crescente e a mesma soma em ordem decrescente, temos S S = 1 + = n + 2 n–1 + ......... + ........ + n–3 + 4 +n–2 + + 3 + n–1 + 2 + n 1

Somando as duas igualdades: 2S = (n + 1) + (n + 1) + ........

+ (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)

Observe que serão n parcelas iguais a (n + 1). Portanto, 2S = n(n + 1) S = n(n + 1)/2. Resposta: S = n(n + 1)/2.

02 – Calcular o inteiro positivo n, sabendo que

3 n+2 . 2n+3 = 2592.

SOLUÇÃO:- Decompondo 2592, obtém-se 34.25. Portanto, n + 2 = 4 n = 2, ou 5=n+3 n = 2. Pois a forma de decomposição em fatores primos é única. Resposta: n = 2.

03 – Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que: 3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 = 1080. SOLUÇÃO:- Observando a soma, verifica-se ser uma soma de potências sucessivas de 3. Temos que: 31 = 3, 32 = 9, 33= 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 = 729 e 37 = 2187. Como pode ser notado, n + 3 < 7 n < 4. Portanto, n só poderá ser igual a 1, ou 2 ou 3. Para n = 1, a soma é 3 + 9 + 27 + 81 < 1080. Para n = 2 , a soma é 9 + 27 + 81 + 243 < 1080. Para n = 3, a soma é 27 + 81 + 243 + 729 = 1080. Portanto, n = 3. Resposta: n = 3.

04 – Achar os valores de n < 7 para os quais n! + 1 é um quadrado perfeito. Solução: N=7 7! + 1 = 5040 + 1 = 5041 é o quadrado de 71. N=6 6! + 1 = 720 + 1 = 721 não é quadrado. N=5 5! + 1 = 120 + 1 = 121 é o quadrado de 11. N=4 4! + 1 = 24 + 1 = 25 é o quadrado de 5. N=3 3! + 1 = 6+1= 7 não é quadrado perfeito N=2 2! + 1 = 2+1= 3 não é quadrado perfeito N=1 1! + 1 = 1+1= 2 não é quadrado perfeito N=0 0! + 1 = 0+1= 1 é o quadrado de 1. Resposta: 7, 6, 5, 4, e 0.

05 – Sendo m e n inteiros positivos, dizer se é verdadeiro ou falso: Solução: a) (mn)! = m!. n! (falso) pois (2.3)! = 6! = 720 e 2!. 3! = 2 x 6 = 12. b) (m + n)! = m! + n! (falso) pois (2 + 3)! = 5! = 120 e 2! + 3! = 2 + 6 = 8. Resposta: (a)