Real Analise

Notas de aula - MAT0315 - Introdução à Análise Real
Em cursos de cálculo, algumas ideias são apresentadas de modo intuitivo e informal. Historicamente, foi desse modo, intuitivo e informal, que certos conceitos foram criados. Entretanto, alguns avanços na teoria passaram a exigir maior precisão e rigor para que certas questões fossem esclarecidas, o que aconteceu de modo gradual a partir de 1820. A esse estudo mais rigoroso e profundo dos números e suas funções damos o nome de Análise Real.
Neste curso iremos estudar números reais, limites, continuidade, funções dadas por integral, séries numéricas e séries de funções.
Decidi escrever estas notas pela dificuldade que tenho sentido em adotar um único livrotexto que aborde todo o conteúdo programático da disciplina MAT0315, e da forma que considero adequada para os alunos da disciplina, a saber, não extremamente rigoroso, por ser um primeiro contato com o assunto, mas já avançando um pouco nessa direção.
Além das ideias da análise matemática, estas notas de aula têm também uma meta especial, que é mostrar, sempre que possível, a relação entre conhecimentos estudados em análise real e tópicos de matemática elementar ministrados nas aulas no ensino básico.
Algumas partes destas notas têm a forte influência do livro Calculus, de Michael Spivak [7] que, em minha opinião, aborda os vários conceitos de forma clara e objetiva, evitando truques artificiais. Muitos alunos não conseguem se beneficiar de sua qualidade porque, infelizmente, ele não foi traduzido para o português.
Outro autor que admiro bastante, mas que apresenta um nível de rigor mais avançado é Walter Rudin. A leitura de seu livro [6] exige maior maturidade. Gosto muito também do livro do Prof. Ávila [1], que foi escrito tendo em mente a formação de futuros professores de Matemática. Esse livro contém valiosas notas históricas que tornam sua leitura bastante interessante e agradável.
Os livros do Prof. Guidorizzi se tornaram referências nacionais em cursos de