analise real

Universidade Federal do Acre

Notas de aula de um Curso

de Nivelamento para o Mestrado em Matemática

Análise Real

Professor Akay/UFAM

Rio Branco - Acre
Julho e Agosto de 2011

Conteúdo
1 Primeira Parte: O Conjunto dos Números Reais e sua Topologia
1.1

O conjunto dos números reais

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Seqüências e Séries de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.1

26

1.1.1
1.2

1.3

Exercícios

Exercícios

Exercícios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Segunda Parte: Continuidade e Derivabilidade
2.1

Funções Contínuas
2.1.1

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Exercícios

Derivadas

29

2.2.1

Denições e Exemplos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

Propriedades da Derivada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.3

Aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.4

Exercícios

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

40

Capítulo 1
Primeira Parte: O Conjunto dos
Números Reais e sua Topologia
1.1

O conjunto dos números reais

Nos cursos de cálculos , o estudante estuda alguns conceitos fundamentais das funções reais tais como limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade entre outros. Naqueles cursos o interesse do estudante é aprender métodos e técnicas que operacionalizem a manipulação do conceito do ponto de vista quantitativo. Na análise real, nosso interesse é de estudar o conceito com