Analise Real

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Equações Diferenciais - Exercícios Suplementares para a AP2

→
−
→
−
Exercício 1 Escreva a forma explícita de Y = A(x) Y sendo
A(x) =

2x ex sen(x) −1

Solução:
OBS: Este exercício aparece como o Exercício 5 da Aula 16. Sua solução
→
−
→
− y1 (x) y1 (x) consiste em escrever Y =
, de modo que Y =
.
y2 (x) y2 (x)
Então
→
−
→
−
Y = A(x) Y

⇐⇒

⇐⇒

y1 (x) y2 (x)

=

2x ex sen(x) −1

y1 (x) y2 (x)

y1 (x) = 2x y1 (x) + ex y2 (x) y2 (x) = sen(x) y1 (x) + (−1) y2 (x)

que é a forma explícita solicitada.
Exercício 2
a) Escreva um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem equivalente à equação y − 3y + 2y = 0.
b) Resolva o sistema pelo método de autovalores e autovetores.
c) Comprove que a primeira componente do vetor solução geral é exatamente a solução geral da equação y − 3y + 2y = 0.
d) Isso foi uma coincidência, ou trata-se de um fato que sempre vai acontecer?
e) E o que você pode afirmar sobre a segunda componente do vetor solução geral? Soluções:
ERRATA: A equação de segunda ordem no item c) é y − 3y + 2y = 0 e não y − y = 0.

CEDERJ

fl. 1

2013/1

a) Introduzimos as variáveis def (1)

y1 (x) = y(t) def (2)

y2 (t) = y1 (t)

Agora vamos construir um sistema de duas equações de primeira ordem para y1 e y2 :
Repare que a equação (??) já é uma das equações diferenciais que queremos: y1 = y2
Queremos agora uma equação para y2 : y2 = ?
Tirando o valor de y na equação y − 3y + 2y = 0, obtemos
(3)

y = −2 y + 3 y

De (??), temos que y = y1 . Portanto y = y1 = y2 . Substituindo em (??): y2 = −2 y1 + 3 y2

(4)

As equações (??) e (??) formam o sistema pedido: y1 = y2 y2 = −2 y1 + 3 y2
b) Escrevendo o sistema construído em (a) na forma matricial:
→
−
Y =
→
− com Y =

y1 y2 Temos det

0−λ
1