Química

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
PARTE A
(Cada problema vale 4 pontos)

01. Quantos divisores positivos do número 123456 são menores que 2007?
02. Considere o conjunto A dos pares ordenados (x;y) de reais não negativos tais que x + y = 2. Se a probabilidade de um elemento de A escolhido aleatoriamente estar a uma distância da origem menor ou igual a 5 3 é p, quanto vale 2535p2?
03. Qual é a soma dos algarismos do inteiro mais próximo de 111...1?
1000 uns

04. O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o

ponto médio do lado AC. Se ∠AOI = 45°, quanto mede, em graus, o ângulo ∠ACB?
05. Um quadrado 4 × 4 é dividido em 16 quadrados unitários. Cada um dos 25 vértices desses quadrados deve ser colorido de vermelho ou azul. Ache o número de colorações diferentes tais que cada quadrado unitário possua exatamente dois vértices vermelhos.

XXIX Olimpíada Brasileira de Matemática – Segunda Fase – Nível 3 www.obm.org.br 1

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)

PROBLEMA 1

Ache todos os pares (x, y) de inteiros positivos tais que
2(x + y) + xy = x2 + y2.
PROBLEMA 2

Encontre todos os números n de seis algarismos da forma AAABBB, em que A e B são algarismos diferentes e não nulos e n + 1 é um quadrado perfeito.
PROBLEMA 3

No quadrilátero convexo ABCD, ∠A + ∠B = 120°, AD = BC = 5 e AB = 8. Externamente ao lado
CD, construímos o triângulo eqüilátero CDE. Calcule a área do triângulo ABE.
PROBLEMA 4

Em um certo país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas (todas de mão dupla), sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o menor valor de n para que, independente de como as estradas sejam construídas, seja possível viajar entre quaisquer duas cidades (passando, possivelmente, por cidades intermediárias)?

XXIX Olimpíada