Quadricas 1

Superfícies

Quádricas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro

Superfícies Quádricas
Notamos que uma equação de segundo grau

ax 2  bxy  cy 2  dx  ey  f  0 representa uma seção cônica (possivelmente degenerada).
A análoga desta equação em um sistema de coordenada xyz. é ax 2  by 2  cz 2  dxy  exz  fyz  gx  hy  iz  j  0 a qual é chamada de equação de segundo grau em xyz.
Os gráficos de tais equações são chamados de superfícies quádricas ou, às vezes, quádricas.

Alguns tipos de Superfícies Quádricas

Elipsóide x2 y2 z 2
 2  2 1
2
a b c para a  0, b  0, c  0

O traço nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto. Hiperbolóide de uma folha

x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
a b c para a  0, b  0, c  0
O traço no plano xy é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano xy. Os traços nos planos yz e xz são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos x e y . Nestes interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.

Hiperbolóide de duas folha

2

2

2

x y z
 2  2 1
2
a b c para a  0, b  0, c  0
Não há traço no plano xy . Em planos paralelos ao plano xy que interceptam a superfície em mais que um ponto os traços são elipses. Nos planos yz , xz e nos planos paralelos a eles que interceptam a superfície em mais de um ponto, os traços são hipérboles.

Cone Elíptico

2
2
x y z2  2  2 a b

para a  0, b  0

O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos ao plano xy são elipses. Os traços nos planos yz e xy são pares de retas que se interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles.

Parabolóide elíptico

x2 y2 z 2 2 a b para a  0, b  0

O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses. Os traços nos planos yz e xy , bem como em planos paralelos