prova resolvida de calculo

˜ DE APRENDIZAGEM
TERCEIRA VERIFICAC
¸ AO

GMA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

C´ alculo Diferencial e Integral Aplicado I
Humberto Jos´ e Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Nome leg´ıvel:
Assinatura:
[01] Considere a fun¸c˜ao y = f (x) =

x2 + x + 9 definida para x ∈ R. x2 + 9

(a) (0.5) Determine, caso existam, as interse¸c˜oes do gr´afico de f com os eixos coordenados.
Solu¸
c˜ ao. O gr´afico de f intercepta o eixo y no ponto (0, f (0)) = (0, 1). Para encontramos a interse¸c˜ao do gr´afico de f com o eixo x, precisamos resolver a equa¸c˜ao f (x) = 0. Agora, x2 + x + 9
= 0 ⇒ x2 + x + 9 = 0. f (x) = 0 ⇒
2
x +9
Como Δ = (1)2 − 4 · (1) · (9) = −35 < 0, vemos que a equa¸c˜ao x2 + x + 9 = 0 n˜ao possui ra´ızes reais. Sendo assim, conclu´ımos que o gr´afico de f n˜ao intercepta o eixo x.

(b) (0.5) Determine, caso existam, as ass´ıntotas horizontais e verticais do gr´afico de f .
Solu¸
c˜ ao. Como f est´a definida em R e f ´e cont´ınua em R, conclu´ımos que o gr´afico de f n˜ao possui ass´ıntotas verticais. Agora,
1
9
1+ + 2 x2 + x + 9 x x = 1.
= lim lim 9 x→+∞ x→+∞ x2 + 9
1+ 2 x Mais ainda, como x2 + x + 9 > x2 + 9 para x > 0, conclu´ımos que o quociente
(x2 + x + 9)/(x2 + 9) ´e sempre maior do que 1 para x > 0. Desta maneira, x2 + x + 9
= 1+ .
2
x→+∞ x +9 lim Analogamente, vemos que
9
1
1+ + 2 x2 + x + 9 x x = 1− . lim = lim
9
x→−∞ x→−∞ x2 + 9
1+ 2 x Sendo assim, a reta y = 1 ´e a u
´nica ass´ıntota horizontal do gr´afico de f .
1

(c) (2.0) Determine os intervalos onde f ´e crescente, os intervalos onde f
´e decrescente e, caso existam, os extremos locais de f .
Solu¸
c˜ ao. Note que f (x) =

(2 x + 1) · (x2 + 9) − (x2 + x + 9) · (2 x)
9 − x2
=
.
(x2 + 9)2
(x2 + 9)2

Da´ı segue-se que f (x) > 0 se, e somente se,
9 − x2 > 0.
Conclu´ımos ent˜ao que f ´e crescente no intervalo (−3, +3) e decrescente nos intervalos (−∞, −3) e (+3, +∞).
Os u
´nicos pontos cr´ıticos de f s˜ao os pontos x = −3 e x = +3. Estudando o sinal da derivada de f ,
{3

+3

x

,