prova algebra linear

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Algebra Linear - 2012.2
Prof. Israel Galv˜o a 1a PROVA

ALUNO:
DATA: 13/09/2012

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RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS SERAO
DESCONSIDERADAS.
1. (2,0 pontos) Classifique as afirma¸˜es em VERDADEIRO OU FALSO, co e em cada caso dˆ um argumento que justifique sua resposta. e 1.1. Se A e B s˜o matrizes sim´tricas, ent˜o o produto AB tamb´m ´ a e a e e uma matriz sim´trica; e 1.2. Se A =

1
1

1
1

e B2×2 satisfaz AB = BA = B, ent˜o B ´ a matriz a e

nula;
1.3. Se A e B s˜o matrizes quadradas de mesma ordem, ent˜o a a det(A + B) = det A + det B;
1.4. Existe sistema linear homogˆneo imposs´ e ıvel.


1
2. (2,0 pontos) Mostre que para todo a ∈ R, a matriz A =  0
0
invert´ ıvel. Encontre A−1 .

1
1
0

 a 1 ´ e 1

3. (2,0 pontos) Sendo λ ∈ R, considere o sistema linear

 x + y + z + 3w = −1
2x + y + λz + 5w = −2 .

y
+
w = 2
3.1. Mostre que este sistema possui solu¸˜o se, e somente se, λ = 2. ca 3.2. Supondo λ = 2, determine o conjunto-solu¸˜o do sistema. ca 4. (2,0 pontos) Calcule os determinantes:
3
1
1 0
2 3
−5
2 −1 0 1
7
4.1.
;
4.2.
3 1
2 3
9
2 0 −1 1
2
−1
1

−27 −23
3
−34 9
18
1
23
2
−6
−33
2
12
1
11
−12
1
12
−1
4
3
−44 −12 −1 −1
−6
2
0
0
2
3
1
99
0
−1

0
27
2
−4 .
0
17
−88

5. (1,0 ponto) Sejam A, B e P matrizes quadradas de mesma ordem onde P
´ invert´ e ıvel. Mostre que se A = P BP −1 , ent˜o det A = det B. a 6. (1,0 ponto) Prove que se A ´ uma matriz invert´ e ıvel, ent˜o det A = 0. a Coment´rio: A prova foi elaborada n˜o visando constatar sua capacidade de a a realizar c´lculos simples e amontoados que chegam a ser inconstrutivos a para os objetivos do curso, mas sim para explorar a capacidade do aluno em lidar com os conceitos apresentados sobre Matrizes, Sistemas lineares e Determinantes e o grande sentido que essas teorias tˆm. Ent˜o, antes e a de fazer algo, reflita sobre! Vai dar tudo certo!

BOA PROVA!

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