provas geometria analitica e algebra linear

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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Ciˆencias Aplicadas
´
Disciplina: Geometria Anal´ıtica e Algebra
Linear

Per´ıodo: 1o semestre de 2010

Professor:

Data: 05/05/2010

Aluno(a):

RA:
˜
ATENC
¸ AO:
Respostas sem justificativa ser˜ ao desconsideradas
N˜
ao desgrampei as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.

Primeira Prova
Quest˜
ao 1: (2,0 pontos) Resolva o sistema 𝐴 𝑋 = 𝐵 usando o m´etodo e desta⎡
⎤ de Gauss-Jordan
⎡ ⎤
1 0 −1
1
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
cando cada opera¸ c˜ ao elementar utilizada, onde: 𝐴 = ⎣2 1 0 ⎦ e 𝐵 = ⎣1⎥
⎦.
0 1 1
2
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
𝑐
4
1
−1 1 −1
1 −5 4
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥, 𝑀 = ⎢−4 9 −3⎥ e 𝑁 = ⎢−2 2
⎥.
Quest˜ ao 2: (2,0 pontos) Sejam 𝑈 = ⎢
0
𝑑
+
1
3
0
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
0
0
𝑐2 − 4
2 3 3
−3 −1 −1
(a) Determine, se poss´ıvel, 𝑐 e 𝑑 tais que 𝐴 = 𝑀 𝑈 seja invert´ıvel;
(b) Determine, se poss´ıvel, 𝑐 e 𝑑 tais que 𝐵 = 𝑁 𝑈 seja invert´ıvel;
Quest˜
ao 3: (3,0 pontos) Considere os pontos 𝐴 = (1, 1, 0),𝐵 = (3, 2, −1), 𝐶 = (0, 1, −2) e 𝐷 =
(1, 3, −1).
(a) Encontre as retas: 𝑟1 contendo o segmento 𝐴𝐵 e 𝑟2 contendo o segmento 𝐶𝐷. Determine a posi¸c˜ao relativa desta retas.
(b) Use o produto misto para encontrar a equa¸c˜ao do plano, 𝜋 contendo o segmento 𝐴𝐵 e que seja paralelo a 𝑟2 . (Solu¸ c˜ ao diferente da forma solicitada ter´ a redu¸ c˜ ao de 30% na nota.)
(c) Calcule as distˆ ancias 𝑑(𝜋, 𝑟2 ) e 𝑑(𝑟1 , 𝑟2 ).
Quest˜
ao 4: (3,0 pontos) Determine se as senten¸cas s˜ao verdadeiras ou falsas. Provem as senten¸ cas verdadeiras e exibam contra-exemplos para as falsas.
(

) det(𝐴 + 𝐵) = det(𝐴) + det(𝐵).

(

) Se 𝐴 = 𝑃 𝐷 𝑃 −1 ent˜ ao 𝐴3 = 𝑃 𝐷3 𝑃 −1 .

(

) Sejam 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ3 n˜ ao nulos, se 𝑢 ∙ 𝑣 = ∥𝑢∥∥𝑣∥ ent˜ao existe 𝛼 tal que 𝑢 = 𝛼𝑣.

(

) Dados 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ3 ent˜ ao ∥𝑢 × 𝑣∥2 + (𝑢 ∙ 𝑣)2 = ∥𝑢∥2 ∥𝑣∥2

(

) Sejam 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ3 , se 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × 𝑤 com 𝑢 ∕= 0 ent˜ao 𝑣 = 𝑤.

(

) Seja 𝑢 ∈ ℝ3 e 𝑖 = (1, 0, 0), 𝑗 = (0, 1, 0), 𝑘 = (0, 0, 1) ent˜ao 𝑢 ×