propriedade das combinacoes

Propriedades das combinações
1. nC0 ­­+ 1C1 + … ­+ nCn2 + nCn = 2n, 0
Esta propriedade das combinações é o corolário do teorema seguinte: O número total de subconjuntos ou partes dum conjunto com n elementos é 2n
Exemplo:
1. Verificação do teorema anterior para B = {b, a, r, c, o}
Resolução:
Subconjunto vazio (): 1
Número de subconjuntos com 1 elemento: 5C1 = 5
Número de subconjunto com 2 elementos: 5C2 = 10
Número de subconjuntos com 3 elementos: 5C3 = 10
Número de subconjuntos com 4 elementos: 5C4 = 1
Número de subconjuntos com 5 elementos: 5C5 = 1
De facto: 1 + 5 + 10­ + 10 + 5 + 1 + = 32 = 25 = 2#B
2. Quantos subconjuntos tem 4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4

Resolução:

4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

Para procurar propriedades das combinações vamos construir um esquema com os valores das combinações de n elementos numa linha, de n + 1 elementos na linha seguinte e assim sucessivamente.

Triângulo pascal
Coloquemos os números nCp em sucessivas linhas, formando um triangulo equilátero.

C00 C10 C11 C20 C21 4C22 C30 C 31 C32 C33

Observação:
Na 1. ͣ Linha, colocamos C00 = 1
Na 1. ͣ Linha, colocamos C10 = 1
Na 1. ͣ Linha, colocamos C20 = 1; C21 = C10 + C11 + C11 de acordo com a 2. ͣ Propriedade e assim sucessivamente isto é: 1