analise combinatoria e binomio de newton

1. Arranjos simples
Consideremos o conjunto A formado pelas cinco vogais. Os arranjos de três elementos tomados de A podem ser representados da seguinte maneira: aei aeo aeu aie aio aiu aoe aoi aou aue aui auo eai eao eau eia eio eiu eoa eoi eou eua eui euo iae iao iau iea ieo ieu ioa ioe iou iua iue iuo oae oai oau oea oei oeu oia oie oiu oua oue oui uae uai uao uea uei ueo uia uie uio uoa uoe uoi Observe que, para ocupar o lugar da primeira vogal, temos 5 possibilidades; por isso escrevemos 5 linhas na horizontal. A segunda vogal pode ser escolhida entre as 4 restantes; portanto, separamos quatro grupos em colunas verticais. Por fim, para a terceira vogal, podemos escolher qualquer uma das três restantes. Indicando o número dos arranjos das 5 vogais tomadas 3 a 3 por A 5,3 no total, teremos:
A 5,3 = 5 X 4 X 3 = 60
Este conjunto de arranjos poderia ser representado também por meio de um diagrama de árvore (Figura 1, acima, à direita).
Exemplo:
Seis atletas concorrem aos prêmios de 1º, 2º e 3º lugares. De quantas formas pode-se compor o pódio?
A 6,3 = 6 X 5 X 4 = 120 formas
Entendemos por arranjo os modos que podemos posicionar os objetos em grupo. Uma alteração na ordem determinará um novo agrupamento. A fórmula que indica o número possível de arranjos é:
A m,n = m X (m ­- 1) X (m -­ 2)X ... X (m­ n + 1)
Por volta de 1800, o alemão Chretien Kramp criou uma notação que simplificou essa fórmula. Para Kramp, dado um número natural m (m E 2), o produto dos m, primeiros números naturais não-nulos, seria indicado por m!. Assim: m! = m X (m -­ 1) X (m -­ 2) X (m ­- 3) X ... X 3 X 2 X 1
Então:
6! = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 720 ou 4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24
Definiu-se ainda que 1! = 1 e 0! = 1. Introduzindo o símbolo fatorial na fórmula dos arranjos, teremos:

2. Arranjos com repetição
Uma possibilidade na contagem por arranjos é admitir a repetição dos elementos.
Se A = {1,