Programação não-linear

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Fundamentos II

Espaco carteziano Rn Subespacos e variedades Depend^ncia linear e dimens~o e a Produto interno e norma Interior, fecho e fronteira Func~es e formas quadraticas o Func~es cont nuas o Func~es diferenciaveis o

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Espaco carteziano Rn Rn
Dado n 2 N,

Rn := R R {z |

n v^zes e

R }

R1 = reta real (R1 := R), R2 = plano real Rn = espaco n-dimensional real

De nic~es o
Vetor: x 2 Rn e representado como x := (x1 x2 : : : xn) onde x1 x2 : : : xn s~o as componentes de x. Dois vea n s~o iguais sse x = y i = 1 2 : : : n tores x y 2 R a i i

Vetor nulo: 0 := (0 0 : : : 0) Soma e multiplo. Se x y 2 Rn e 2 R, de ne-se

x + y := (x1 + y1 x2 + y2 : : : xn + yn) x := ( x1 x2 : : : xn)

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Espaco carteziano Rn Teorema
Sejam x y 2 Rn e

2 R quaisquer. Ent~o a

1. x + y = y + x 2. (x + y) + z = x + (y + z) 3. x + 0 = x 4. Para cada x, existe (;x) tal que x + (;x) = 0 5. (x + y) = x + y 6. ( + )x = x + x 7. ( )x = ( x) 8. 0x = 0, 1x = x (0 2 R 1 2 R)

Notas
O Rn, juntamente com as de nic~es anteriores de 0, soma o e multiplo, constitui um espaco linear (satisfaz 1-8) As propriedades de campo relativas a adic~o e multiplicac~o a a por escalar s~o satisfeitas a Em geral n~o e poss vel de nir multiplicac~o de vetores de a a forma a atender propriedades de campo

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Espaco carteziano Rn Caso especial n = 2
A de nic~o para multiplicac~o de vetores a a

x y = (x1 x1) (y1 y2) := (x1y1 ; x2y2 x1y2 + x2y1) conduz ao campo dos numeros complexos, C. O numero imaginario e i := (0 1) e portanto

i2 := i i = (0 1) (0 1) = (;1 0) ;1

Relac~es de ordem o
As seguintes convenc~es s~o adotadas para os vetores do Rn. o a n, Se x y 2 R

x = y , xi = yi i = 1 2 : : : n x < y , xi < yi i = 1 2 : : : n x y , xi yi i = 1 2 : : : n

O Rn e parcialmente ordenado pela relac~o a

, pois

x x para todo x 2 Rn Se x y e y x ent~o x = y a Se x y e y z ent~o x z a
Note que existem vetores