Produtos notáveis

Produtos Notáveis

É muito comum nas expressões algébricas o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis

Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2

(x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2

(x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

(x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

(x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

(x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

(x-2)(x2+2x+4) = x3-8

Exercícios resolvidos:

1) Desenvolva:

a) (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

b) ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

c) ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

d) (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

e) (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)

(2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2

2) Efetue as multiplicações:

a) (x-2)(x-3)

(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

b) (x+5)(x-4)

(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20

3) Simplifique as expressões:

a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) =

x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)

(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy =