Principio de cavalieri

Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em 1.598. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de 1.629 até 1.647, ano de sua morte.

A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é o tratado Geometria indivisibilibus de 1.635. Neste tratado é apresentado o seu método dos indivisíveis, cuja motivação direta se encontre nas tentativas de Kepler de achar certas áreas e certos volumes.
Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados Princípios de Cavalieri, que podem ser enunciados como:

1. Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais.

2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.Para ilustrar o Princípio de Cavalieri, primeiramente vamos tomar o caso de porções planas, determinando a área compreendida por uma elipse de semi-eixos a e b.

Considere a elipse:

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E a circunferência:

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Sendo as duas referidas ao mesmo sistema de coordenadas retangulares:

Figura 3_300

[Figura 3: circunferência e elipse]

Podemos reescrever a equação da elipse em função de y:

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Agora, reescrevemos a equação da circunferência em função de y:

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Substituímos ( II ) em ( I ):

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Vemos que a razão entre duas ordenadas correspondentes quaisquer da