Princípio de Cavalieri, Definições e fórmulas de Volume, área etc.

PRINCÍPIO DE CAVALIERI

Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções planas de iguais altura possuírem a mesma área.
Consideremos dois planos horizontais α e β paralelos, sendo que α seccionará dois sólidos S1 e S2. O plano α determinará nos sólidos duas seções planas indicadas por α ∩ S1 e α ∩ S2.

Se para qualquer plano horizontal α, ocorrer α ∩ S1 = α ∩ S2, isto é, possuírem a mesma área, os volumes dos sólidos S1 e S2 serão iguais, constituindo o princípio de Cavalieri.

A geometria proposta por Cavalieri foi o primeiro passo rumo ao cálculo infinitesimal, pois essa nova geometria ponderava que toda figura plana seria formada por retângulos de largura infinitesimal, chamados por Galileu de indivisíveis. Dessa forma, pode-se concluir que se duas figuras planas comprimidas entre retas paralelas formam uma relação constante, as áreas das figuras também possuem a mesma relação. Essa ideia de indivisível proposta por Galileu e trabalhada por Cavalieri provocou muita discussão e críticas por parte de algumas pessoas ligadas ao assunto. A consistência do método dos indivisíveis foi aceita e usada por importantes cientistas, como, Torricelli, Fermat, Pascal entre outros.

Cálculo do volume da esfera. GEO160102
Considere uma esfera de raio R e um cilindro equilátero de altura 2R mostrados na figura.

Retiramos do cilindro os dois cones brancos, restando um sólido amarelo.
Vamos mostrar que as secções do sólido amarelo e da esfera produzidas por um plano paralelo às bases do cilindro possuem a mesma área.

Aplicando o Princípio de Cavalieri podemos afirmar que: O volume da esfera é igual ao volume do sólido amarelo

Cálculo do volume de prismas oblíquos. GEO160103

Os prismas da figura