Polinômios

POLINÔMIOS
Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma
P( x ) = a0 + a1x + a 2 x 2 + a3 x 3 + ... + an xn =

n

∑ ai xi em que cada a

i

é um número complexo (ou

i=0

real) tal que n é um número natural e an ≠ 0. Os números ai são denominados coeficientes do polinômio P(x). O termo a0 é chamado coeficiente constante ou termo independente.

Exemplos:
1) P(x) = x3+2 x2 - 3x + 10 é um polinômio de grau 3. Note que segundo a notação acima temos a0=10, a1 = -3, a2 = 2 e a3 = 1.
2) Q(x) = x2 + 1 é um polinômio de grau 2 tal que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1.
3) R(x) = 7 é um polinômio de grau zero tal que a0=7.
Observe que P(x) = x2 + x + x

½

+2 não é um polinômio devido ao expoente ½. Similarmente,

Q(X) = x3 +2x +x-2 +3 não é polinômio devido ao expoente –2.

Definição: Dado o número complexo (ou real) a, o número P(a) é chamado valor numérico do polinômio P(x) em x = a. Além disso, se P(a) = 0 então dizemos que a é uma raiz do

polinômio P(x).

Exemplos:
1) Se P(x) = x2 -3x + 2 então P(3) = 32 - 3 3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 é o valor numérico de P(x) em x=3. Além disso, x = 1 e x = 2 são raízes do polinômio P(x) já que P(1) = 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = 1 – 3 +2 = 0 e P(2) = 22 – 3 ⋅ 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0.
2) As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que
Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0.

Teorema: Se x = a é uma raiz do polinômio P(x) então P(x) pode ser reescrito como o produto de x - a por um certo polinômio Q(x), ou seja, se x = a é raiz de P(x) então existe um polinômio
Q(x) tal que P( x ) = ( x − a)Q( x ) .

Exemplo: Já vimos que x = 1 é raiz do polinômio P(x) = x2 -3x + 2 então P(x) pode ser reescrito por P( x ) = ( x − 1)Q( x ) . No caso, o polinômio Q(x) é dado por Q( x ) = x − 2 , já que

P( x ) = x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1)( x − 2) .
Observe que o polinômio Q(x) pode ser encontrado fazendo-se a divisão do polinômio P(x) pelo polinômio x–a,