Poliedros e seus duais

POLIEDROS GEOMÉTRICOS E SEUS DUAIS

Polígonos são sólidos, onde seus lados são limitados por quatro ou mais polígonos. Os lados dos polígonos são os chamados vértices de um poliedro. Os vértices, arestas e as faces, formam os chamados elementos de um poliedro.
Podem ser subdivididos em côncavos e convexos. Para determinar se um poliedro é côncavo ou convexo, é só considerar a posição de suas faces. Caso se encontre inteiramente no mesmo espaço, esse é considerado convexo. Caso não, côncavo.
Também podem ser subdivididos quanto a sua regularidade. Sólido que não apresenta diferenças nos seus elementos pode ser chamado de regular, o que apresenta algum, irregular. Chamam-se de vértices equivalentes ou idênticos aqueles que possuem o mesmo número de aresta ou de faces.

DUAIS
Poliedros duais podem ser considerados recíprocos, pois suas faces correspondem ao vértice do poliedro, assim como seus vértices correspondem às faces do mesmo. Conclui-se que um poliedro e seu dual têm o mesmo número de arestas, porem são invertidos. Os duais não são exclusivos dos poliedros platônicos (sólidos convexos, cujas arestas formam polígonos planos, regulares e congruentes), podem ser aplicados a todos os poliedros, mesmo alguns não podendo ser considerados poliedros no sentido tradicional usado. Mas, o processo não é o mesmo a todos os poliedros. É necessária, em cada caso, a definição baseada em reciprocidade polar sobre uma determinada esfera, permitindo a determinação do dual de um poliedro qualquer. Nesse processo, associam-se cada vértice a um plano, de que forma que este plano seja perpendicular, o produto da distancia do centro ao vértice pela distancia do centro do plano seja igual ao quadrado do raio da esfera. Fazendo da mesma forma o processo para cada aresta do poliedro original, encontramos todas as arestas do dual.
Caso o poliedro possua eixos de simetria, ou seja, possua os mesmos eixos que seu dual, estes se encontram em um mesmo ponto e, em geral, é tomado