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4.1 Método das Aproximações Sucessivas ou Método de Iteração Linear (MIL)
O método da iteração linear é um processo iterativo que apresenta vantagens e desvantagens em relação ao método da bissecção. Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O Método de Iteração Linear inicia-se reescrevendo a função f(x) como, f(x) = (x) – x Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que: f(x) = (x) – x =0 (x) = x (4.15) (4.16) (4.14)

ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor de x na função (x), teremos como resultado o próprio valor de x. Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de (x), ou seja, o valor que ao ser substituído em (x) retorna o próprio valor de x. Por exemplo, a função f(x) = x2 - x – 2 pode ser reescrita como, f(x) = x2 – 2 – x = (x) – x , onde (x) = x2 – 2. Essa função tem como ponto fixo o valor x=2, pois (2) = 22 – 2 = 2. E esse é exatamente o valor da raiz de f (x), pois f(2) = 22 – 2 – 2 = 0. Portanto, para encontrarmos a raiz de f(x), podemos encontrar o valor numérico que ao substituirmos em (x) retorna o próprio valor de x. Para encontrarmos esse valor de x, vamos utilizar um processo iterativo, onde começamos a calcular o valor de (x) com um valor inicial de x, e recalculamos repetidamente o valor de (x) sempre usando o resultado de uma dada iteração como a nova estimativa de x, ou seja, fazendo:

xk 1   ( xk )

(4.17)

onde, k é a ordem da iteração em que estamos (k = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função (x) é chamada de função de iteração. Pode-se notar que dada uma função f(x) existem diversas funções de iteração que podem ser usadas no processo. Exemplo: Encontre algumas funções de iteração a partir de f (x) = x2 + ln(x) - x +1.

f ( x)  x 2  ln( x)  x  1 f ( x)  0 x 2  ln( x)  x  1  0 x  x 2  ln( x)  1   ( x )  x 2  ln( x)  1 ou então,

x 2  ln( x)  x  1  0 ln( x)  x  x