Parábola

1 Definição A parábola é uma curva plana muito utilizada diariamente, embora muitas vezes ela passe despercebida, mesmo sendo tão importante tanto teoricamente como em nas diversas aplicações na engenharia. Esta por sua vez origina-se da secção do cone de modo que a intersecção pelo plano seja paralela a uma das geratrizes, como mostra a figura a seguir.

Figura 1- Origem da Parábola
Fonte: Machado, 2007.
Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano, equidistantes de um ponto fixo (Foco) e de uma reta fixa (Diretriz).
Considerando uma reta d e um ponto F não pertencente a d.
Na figura os pontos assinalados são equidistantes do ponto F e da reta d.

Figura 2-
Fonte : Steinbruch e Winterle, 2006

Um ponto P só pertence à parábola se e somente se, d(P,F) = d (P,d)

2 Elementos
Figura 3 – Elementos da Parábola
Fonte: Winterle,P., Vetores e Geometria Analítica, p. 163 Foco: é o ponto F.
Diretriz: é a reta d.
Eixo: é a reta e que passa por F e pelo vértice e é perpendicular a d.
Vértice: é o ponto V de intersecção da parábola com o seu eixo. É o ponto médio entre o foco e a diretriz.

3 Equações reduzidas
Para que a equação seja mais simplificada, define-se o eixo x perpendicular à diretriz, contendo o foco. A origem se encontrará sobre o eixo x e no ponto médio da diretriz e do foco.
Seja p a distância orientada OF. O foco será o ponto F(p, 0), consequentemente, a diretriz será a reta de equação x = -p. Um ponto P(x, y) pertencerá à parábola se esse for equidistante do foco F e da diretriz. Ou seja, se Q(-p, y) for um ponto da diretriz, P estará na parábola somente se:
|FP| = |QP|
Usando a fórmula da distância, tem-se que:
|FP| =
|FP| =
|FP|=
E
|QP| =
|QP| =
Assim, o ponto P pertencerá na parábola se:

Elevando ao quadrado os dois lados da equação, obtém-se:

Portanto, a equação da parábola que tem foco em (p, 0), tendo como diretriz a reta