Paradoxo de russell

Paradoxo de Russell

Em 1901, Bertrand Russell teve a oportunidade de analisar o trabalho de Frege que seguia o pressuposto que todos os conceitos tinham extensão. Russell descobriu que esse pressuposto conduzia a uma contradição que ficou conhecida como Paradoxo de Russell.
Em seguida, vou descrever o Paradoxo de Russell:
Alguns conceitos aplicam-se a conjuntos, e como tal, as extensões desses conceitos são conjuntos que contêm conjuntos como elementos.
Consideremos o conceito de conjunto finito que tem como extensão, F, o conjunto de todos os conjuntos finitos.
F = {x : x é um conjunto finito}
O conjunto F contém, por exemplo, o conjunto das pragas do Egipto e o conjunto dos alunos de HFM da Ubi.
Consideremos agora o conceito de conjunto infinito e a sua extensão:
I = {x : x é um conjunto infinito}.
Os elementos de F são conjuntos finitos mas o conjunto F é um conjunto infinito pois inclui os conjuntos: {0}, {1}, {2}, … Portanto, F não é membro de si próprios e assim, F pertence a I. No entanto, I é ele próprio infinito e assim, I pertence a I, isto é, I é membro de si próprio.
Consideremos, em seguida, o conceito de conjunto que não é membro de si mesmo e a sua extensão:
R= {x : x é um conjunto e x ∉ x}.
Sabemos que F pertence a R, mas I não pertence a R. De acordo com a definição de R, R será membro de R se e só se R cair sob o conceito do conjunto que não é membro de si mesmo. Portanto,
R ∈ R <=> R ∉ R o que é absurdo, assim, o pressuposto do conceito de conjunto que não é membro de si mesmo tem uma extensão que conduz a uma contradição. Ou seja, no logicismo, a noção “extensão”, necessária para a definição explícita de número de F’s, conduz a uma contradição.
Muitas pessoas tiveram dificuldade em ver o que há de errado na definição de R como a extensão do conceito de conjunto que não é membro de si próprio. O paradoxo apenas resulta se pressupomos que R é um dos conjuntos classificados usando o conceito de conjunto que não é membro