Otimiza O Da Lata Com Tampa

1) Uma indústria solicitou a um engenheiro que projetasse uma lata cilíndrica (com tampa) com capacidade de um litro. Forneça as dimensões da mesma de tal forma que a quantidade de material gasta para fabricar a lata seja mínima.

Solicitação do cliente (ou do patrão) ao engenheiro: projetar uma lata com tampa que caiba 1 litro (1 dm3 = 1000 cm3) de tal forma que o gasto com a embalagem seja o mínimo.
1º Passo: obter a função que forneça a área da lata em relação a medida do raio.
V = πr2.L = 1000
A = πr2+ πr2+ 2πr.L = 2πr2+2πr.L
Temos duas equações com duas incógnitas. Agora é só isolar L na primeira e substituir na segunda:
A(r) = 2πr2+2000π-1
Se deseja-se o valor mínimo, então a derivada é igual a zero, pois a reta tangente é paralela ao eixo-x
A’(r) = 4πr-2000π—2
4πr-2000π—2 = 0
4πr-2000/π+2 = 0

Logo, o diâmetro é igual a 10,8385
Voltemos a equação do volume:
Observe que a medida do diâmetro da lata é igual a altura, ou seja, o cilindro com tampa e fundo com menor área é o cilindro equilátero.

Veja o gráfico da função área. A reta verde é a reta tangente à curva e indica o ponto de mínimo. Com este gráfico podemos perceber que, realmente, a intersecção da reta tangente com a curva fornece o ponto de mínimo da função.

Isto não é maravilhoso?
Se Deus fizesse latas, como seria a lata de Deus?
Observe a tabela com 192 valores feita no Excel:
Raio (cm)
Área total (cm2)
0,1
20000,06
0,11
18181,89
0,12
16666,76
0,13
15384,72
0,14
14285,84
0,15
13333,47
0,16
12500,16
0,17
11764,89
0,18
11111,31
0,19
10526,54
0,2
10000,25
0,21
9524,09
0,22
9091,21
0,23
8695,98
0,24
8333,70
0,25
8000,39
0,26
7692,73
0,27
7407,87
0,28
7143,35
0,29
6897,08
0,3
6667,23
0,31
6452,22
0,32
6250,64
0,33
6061,29
0,34
5883,08
0,35
5715,06
0,36
5556,37
0,37
5406,27
0,38
5264,07
0,39
5129,16
0,4
5001,01
0,41
4879,10
0,42
4763,01
0,43
4652,32
0,44
4546,67
0,45
4445,72
0,46
4349,16
0,47
4256,71
0,48
4168,11
0,49
4083,14
0,5
4001,57
0,51
3923,20
0,52
3847,85
0,53
3775,35
0,54
3705,54
0,55