Olimpíada da Matemática

a

Solução da prova da 1 fase
OBMEP 2014 − Nível 3

1

QUESTÃO 1
ALTERNATIVA C
Seja x o número de caras consecutivas obtidas após os primeiros 2014 lançamentos. Então, de acordo com o enunciado do problema, x deverá satisfazer a igualdade
2014 + x
,
997 + x =
2
ou, equivalentemente, 1994 + 2 x= 2014 + x , de onde obtemos x = 2014 − 1994 = 20 .
QUESTÃO 2
ALTERNATIVA B
Como x > 0 , multiplicamos os termos das desigualdades 0 < x < y < 1 por x e obtemos:

x ⋅ 0 < x 2 < xy < x
Concluímos que 0 < xy < x .
QUESTÃO 3
ALTERNATIVA D
Podemos organizar as informações numa tabela:
Andrea
Daniela
Fernanda
Patrícia
Tatiane

mês agosto agosto setembro agosto setembro dia do mês
16
16
17
17
17

dia da semana segunda terça terça segunda segunda Se Andrea estivesse certa, então Fernanda não acertaria nenhuma das informações. Logo, não é ela que está certa, nem Fernanda (pelo mesmo motivo). Se Daniela estivesse certa, então Tatiane também nada acertaria. Logo Daniele e Tatiane não estão certas. Se Patrícia acertar tudo, as demais também acertarão alguma informação e, portanto,
Patrícia é a única que está certa.
QUESTÃO 4
ALTERNATIVA B

km 90km km , ou seja, Guilherme andou, nos primeiros 2
Nos dois primeiros minutos, o carro andou a 90
= = 1,5 h 60min min 3 km. Falta percorrer 5 − 3 = minutos, 2 × 1,5 =
2 km no tempo de 3 minutos.
2km
2km
2
= = km/h 40km/h .
A velocidade suficiente para isto = é 1
1
3min
3min⋅ h/min
60
20

a

Solução da prova da 1 fase
OBMEP 2014 − Nível 3

2

QUESTÃO 5
ALTERNATIVA A
O lado do quadrado maior é R e o lado do menor S . Traçamos o segmento BG e vemos que ele divide a região cinza em dois triângulos ABG e BFG, cujas áreas, somadas, dão a área da região cinza. A área do triângulo

R⋅ R R
=
e a área do triângulo BFG é
2
2
R +S
.
da região cinza é
2

ABG é

S⋅ S S
= . Logo, a área
2
2

Outra solução:
Construímos o triângulo BFH congruente ao