Números perfeitos

NÚMEROS PERFEITOS

Edson Luís de Lima Marques Professor de Matemática - RS E-mail:[e-mail]

RESUMO

O presente trabalho pretende demonstrar a impossibilidade da existência de números perfeitos ímpares, que ainda é uma das questões em aberto na matemática, utilizando métodos algébricos e a redução ao absurdo.
Palavras-chave: Números perfeitos pares, números perfeitos ímpares e divisores naturais.

INTRODUÇÃO

Considerando a um número natural composto qualquer e p um número natural primo, temos nos dois casos as seguintes funções:

1º - Função τ (n) que representa o número de divisores naturais de n, se n = a, temos a função τ (a) = quantidade de divisores de a, se n = p temos a função τ (p) = 2. Ex: D (18) = {1,2,3,6,9,18} ↔ τ (18) = 6 D (7) = {1,7} ↔ τ (7) = 2

2º - Função Π (n) que representa o produto de todos os divisores naturais de n, se n = a, temos a função Π (a) = produto dos divisores de a, se n = p temos a função Π (p) = p x 1 = p. Ex: D (4) = {1,2,4} ↔ Π (4) = 1 x 2 x 4 = 8 D (11) = {1,11} ↔ Π (11) = 1 x 11 = 11

3° - Função σ (n) que representa a soma de todos os divisores naturais de n, se n = a, temos a função σ (a) = soma dos divisores de a, se n = p temos σ (p) = p + 1. Ex: D (15) = {1,3,5,15} ↔ σ (15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24 D (23) = {1,23} ↔ σ (23) = 1 + 23 = 24
1. Chamamos de número perfeito o número natural em que a soma de todos os seus diviso-res naturais é o dobro do próprio número, isto é, σ (n) = 2n. Usando esta relação temos os núme-ros abundantes, em que σ (n) > 2n, e os números deficientes em que σ (n) < 2n.
Ex: Número perfeito D (28) = {1,2,4,7,14,28}, σ (28) = 2 x 28 = 56. Número abundante D (12) = {1,2,3,4,6,12}, σ (12) = 28 > (2 x 12). Número deficiente D (10) = {1,2,5,10}, σ