Números perfeitos

Números Perfeitos

[pic] Seja [pic]um número natural e considere [pic]a soma dos divisores positivos [pic]do mesmo.
Se [pic] primo, então [pic] porque o único divisor [pic]é [pic].
De modo geral, dado um [pic]qualquer, três possibilidades podem ocorrer:

1) [pic]e [pic]é chamado de número abundante; Ex: [pic]

2) [pic] e [pic]é chamado de NÚMERO PERFEITO; Ex: [pic]

3) [pic]e [pic]é chamado de número deficiente. Como foi visto acima, todo número primo é um número deficiente: [pic] mas existem números compostos que são deficientes, como por exemplo [pic]

Vamos nos concentrar agora nos números perfeitos que são os objetos deste estudo.

Os números perfeitos são extremamente raros. Só para terem uma idéia, o primeiro número perfeito é [pic], o segundo é [pic], o terceiro já pula para [pic], o quarto alça vôo para [pic]e o quinto está na casa dos milhões! Hoje em dia se conhece pouco mais que [pic]números perfeitos e todos são pares. Mesmo porque não se sabe se número perfeito ímpar exista...

Realmente, essa é uma bela parte da Teoria dos Números. E antiga também.

Euclides de Alexandria ( 300 A.C. ) foi o primeiro a dar um tratamento formal sobre o assunto. Ele desconfiou que os números perfeitos tem algo a haver com a potência de [pic]. E é dele o processo de achar números perfeitos pares. Então porque se conhecem pouco mais que [pic]? É porque, na verdade, o processo depende de se achar também um número primo muito grande.
Mas vamos a teoria. Para acharmos números perfeitos teremos que estudar a seguinte função aritmética:

[pic]soma de todos os divisores positivos de [pic].

Por exemplo [pic]

Observem que [pic]e [pic]são irmãs porque uma depende da outra:
[pic]
Para [pic]primo, temos [pic]

É interessante o cálculo de [pic] quando [pic] é uma potência de um primo. Os divisores da potência [pic]com [pic]primo e [pic]são [pic],[pic],[pic],[pic],...,[pic],[pic] e [pic]. Ora, isso são