Notas de aula: matrizes

Notas de Aula: Matrizes

7 de abril de 2012

DEFINICAO ¸˜ Matriz ´ uma tabela de valores que usualmente s˜o n´meros reais. Matriz de ordem m x n ´ aquela e a u e constitu´ de m · n elementos distribu´ ıda ıdos em m linhas e n colunas. 1 −3, 79 π Por exemplo, M2X3 = √ ´ uma matriz com 2 linhas e 3 colunas. e 2 2 0 5 , a21 a22 a23 onde aij ou [A]ij representa o elemento da i-´sima linha e j-´sima coluna, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. e e Podemos tamb´m escrever uma matriz gen´rica A2X3 = e e Desta forma, no exemplo acima apresentado, [M ]11 = 1 e [M ]22 = 0. a11 a12 a13

MATRIZES PARTICULARES A1Xn = a11 a12 . . . a1n (matriz linha)  b11 

   b21  BmX1 =  .  (matriz coluna)  .   .  bm1  CnXn c11 c12 c22 . . . . . . c1n 

  c21 = .  .  .

 . . . c2n  u e .  (matriz quadrada de ordem n, o n´mero de linhas e colunas ´ o mesmo) .  . 

cn1 cn2 . . . cnn  1  0   In = 0 . . . 0  0 0 ... 0  1 0 . . . 0  0 1 . . . 0 (matriz identidade de ordem n)  . . .. . . . . . . . . 0 0 ... 1

 0, para i = j Uma matriz identidade In tamb´m pode ser definida por [I]ij = e 1, para i = j   0 0 ... 0   0 0 . . . 0 . . = .  (matriz nula) . . . . . . 0 0 ... 0

.

0mxn

IGUALDADE E EXEMPLOS DE OPERACOES ¸˜ Sejam A e B duas matrizes com m linhas e n colunas. A e B s˜o iguais quando possuem o mesmo n´mero de linhas e colunas e seus elementos correspona u dentes s˜o iguais. Ou seja, [A]mXn = [B]mXn ⇔ aij = bij . Assim, podemos estabelecer a igualdade a abaixo: 32 1 100 0 = 9 102 50 0

Somadas, resultam em uma nova matriz com m linhas e n colunas, tal que A + B = [aij + bij ]mXn .       1 3 0 4 1 −1       4 0  + −2 5 = 2 5 3 5 1 0 2 5

Valem para a soma de matrizes as seguintes propriedades: (i) A + B = B + A (comutatividade) (ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) (iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mXn. Multiplicada por um n´mero real, o resultado ´ uma matriz do tipo k · A = [kaij