Inglês

Both
Both significa ambos. Antes, porém, de entrarmos no assunto específico deste item, vale a pena salientar que o uso da palavra both, em inglês, não é inteiramente igual ao português. Para dizer por exemplo:
O Frank e o Mark são irmãosç ambos são bons amigos meus.
Você pode se expressar de duas maneiras:
Ex: Frank and Mark are brothers; both are good friends of mine. OR
Frank and Mark are brothers; both of them are good friends of mine.
Pode parecer etranho, mas o fato é que na, linguagem do dia-a-dia, a expressão “both of them” é mais usada do que simplestemente both:
Sandra and Jane study at my school. I saw both of them this morning. – A Sandra e a Jane estudam na minha escola. Vi ambas (as duas) hoje de manhã.
We have two dogs and both of them are poodles. – Temos dois cães e ambos são poodles.

Neither

Usualmente, a palavra neither é usada quando queremos concordar, no sentido de que nos colocamos na mesma situação-condição através da qual estabelecemos uma equivalência ou semelhança quanto a predileções, por exemplo.
Vejamos o diálogo abaixo: Ex: John: I don’t like eating onions.

Peter: Neither do I.

► So, let’s break this example down into its parts and deal with each one separetly.

Na primeira sentença, John acaba de afirmar que não gosta de comer onions (cebolas), por isso optou pelo uso do verbo auxiliar do na negativa - don't.

Ao dizer "Neither do I", Peter se equipara à John no quesito "gostar de cebola" , demonstrando que possuem algo em comum:

- O fato de ambos não gostarem de comer cebola.

Either

Agora, digamos que além da frase acima o Peter tivesse dito também algo do tipo: Peter: Neither do I. I don’t like eating peppers either!

Neste caso, a palavra either estaria atuando em sincronia com a palavra don't. O que significa dizer que foi estabelecida uma estrutura negativa baseada no uso do verbo auxiliar e ao mesmo tempo foi estabelecida uma idéia adicional a partir da palavra either,