Notas De Aula Fundamentos Da Matem Tica Elementar

26889 palavras 108 páginas
Fundamentos de Matem´atica Elementar (MAT133)
Notas de aulas

Maria Julieta Ventura Carvalho de Ara´ ujo (Colabora¸c˜ao: Andr´e Arbex Hallack)
Mar¸co/2010

´Indice

1 Conjuntos

1

1.1

A no¸c˜ao de conjunto e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Subconjuntos e a rela¸c˜ao de inclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

´
Algebra
dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Rela¸ c˜ oes

13

2.1

Rela¸c˜oes Bin´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Rela¸c˜oes de equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Rela¸c˜oes de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 Fun¸ c˜ oes

29

3.1

Conceitos b´asicos e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2

Fun¸c˜oes invert´ıveis: injetoras e sobrejetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.4

Fam´ılias indexadas de conjuntos e produtos cartesianos em geral . . . . . . . .

39

3.5

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4 Cardinalidade, conjuntos infinitos, etc.

49

4.1

Conjuntos de mesma cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2

Conjuntos finitos/infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.3

Conjuntos enumer´aveis/n˜ao-enumer´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

i

4.4

N´ umeros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 N´ umeros reais: racionais/irracionais, alg´ ebricos/transcendentes 56
61

5.1

Caracter´ısticas

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