Newton raphson

Cálculo Numérico – Newton
Newton--Raphson
• Método de Newton
Newton--Raphson
Dada a função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente à curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas. f(x) x0 - atribuído em função da geometria do método e do comportamento da curva próximo da raiz. x0 

x3

x2

x1

x

1

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Considerações Iniciais

– No método do Ponto Fixo (MPF
MPF)
• Uma das condições de convergência é que |g’(x) g’(x)|| 
M < 1,
1,  x  I , onde I é um intervalo centrado na raiz • A convergência será tanto mais rápida quanto menor for |g’(x) g’(x)|| – O método de Newton busca garantir e acelerar a

convergência do MPF com a escolha de uma g(x) g(x), tal que g’( g’() = 0,
0 como função de iteração
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Considerações Iniciais

– Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para g(x) = x + A(x)f(x)

– Busca-se obter a função A(x) tal que g’( g’() = 0 g(x) = x + A(x)f(x)  g’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x)  g’() = 1 + A’( g’( A’()f(
)f() + A(
A()f’(
)f’()  como f( f() =0. g’() = 1 + A( g’( A()f’(
)f’() .
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Considerações Iniciais

– Assim, como desejado, g’() = 0  1 + A( g’( A()f’(
)f’() = 0  A(
A() = -1/f’(
1/f’()

onde toma-se: A(
A(xx) = -1/f’(
1/f’(xx).
– Então, dada f(x) contínua, a função de iteração g(x) = x
+ A(x)f(x) ficará, no Método de Newton, g(x) = x f(x)/f’(x) e será tal que g’( g’() = 0,
0 visto que:

g’(x) = 1 – {[f’(x)]2 – f(x)f”(x)}/[f’(x)]2

e, como f( f() = 0  g’( g’() = 0 (desde que f’( f’()  0 )
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Considerações Iniciais

– Deste modo, escolhido x0 , visto que g(x) = x -

f(x)/f’(x) a seqüência {xk} será determinada por

f ( xk ) xk  1  xk 
,
f '( x k ) onde k = 0, 1, 2, ... são as iterações.
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