Modelo de newton-raphson

O Método de Newton-Raphson é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próximo" da raiz da função. O método é atribuído a Sir Issac Newton (16431727) e Joseph Raphson (1648-1715).

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Antes de qualquer coisa, vamos lembrar como funciona o Método Iterativo Linear:

“Quando se busca a raiz de () = 0, está-se procurando o ponto em que a função () corta o eixo . O Método da Iteração Linear (MIL) transforma o problema, procurando isolar o da função , de modo a se ter = ().A partir desse ponto, busca-se a interseção da reta com a curva . Dessa forma, o método transforma o problema de se encontrar uma raiz da equação () = 0 na busca de se encontrar o ponto em que = ().”
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A forma geral das funções () é: = + . () Sendo que em , ponto fixo de (), se tenha () ≠ 0.

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Quanto menor for |′ | mais rápida será a convergência. As condições de convergência são dadas no seguinte teorema:

Teorema: Seja uma raiz da função no intervalo [, ]. Seja uma função de iteração da função que satisfaz: 1. e ′ são contínuas em [, ]. 2. ′ ≤ < 1, ∀ ∈ [, ]. 3. 0 ∈ , . Então a sequência gerada pelo processo iterativo +1 = ( ) converge para .

O Método de Newton-Raphson é determinado de tal forma que teremos uma função de iteração tal que ′ = 0, onde é a raiz de . Com isto temos a garantia que existe um intervalo [, ] que contém a raiz e que ′ ≪ 1 e consequentemente a convergência será mais rápida.

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Dada a equação = 0 e partindo da forma geral para (), queremos obter a função () contínua e diferenciável com ′() ≠ 0, ∀. Então, = + . ′ = 1 + ′ . + . ′() Como = 0 e considerando ′() ≠ 0, segue que: ′ = 1 + ′ . + . ′() 0 = 1 + . ′() −1 = ′() Assim, tomamos a função =
−1 e portanto, teremos: ′()