Newton Raphson Cimatec

MÉTODOS NUMÉRICOS
APLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA

Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: [e-mail] [e-mail] Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro

NEWTON-RAPHSON
O método de Newton-Raphson é um método iterativo o qual aproxima um conjunto de equações não-lineares simultâneas por um conjunto de equações lineares usando expansão por séries de
Taylor e os termos são restritos a aproximação de primeira ordem.
Dado um conjunto de equações não-lineares: y1  f1 (x1 , x 2 , x 3 ,L x n ) y 2  f 2 (x1 , x 2 , x 3 ,L x n )
LLLLL
y n  f n (x1 , x 2 , x 3 ,L x n )

NEWTON-RAPHSON
Como estimativa inicial da solução tem o seguinte vetor: x 01 , x 02 , x 03 ,L L L L x 0n
Assumindo que
x1 , x 2 , x 3 ,L L x n respectivas estimativas iniciais, tem-se que:

são as correções das

(0)
(0)
y1  f1 (x1(0)  x1 , x (0)

 x , x 

x
,
L
L
x
 x n )
2
3
2
3 n (0)
(0)
y 2  f 2 (x1(0)  x1 , x (0)

 x , x 

x
,
L
L
x
 x n )
2
3
2
3 n LLLLLLLLL
(0)
(0) y n  f n (x1(0)  x1 , x (0)

 x , x 

x
,
L
L
x
 x n )
2
3
2
3 n Cada equação abaixo pode ser expandida por série de Taylor e desprezando os termos de ordem mais elevada, tem-se:
f1
f1 y1  f1 (x , x 2 , x 3 ,L L x n )  x1
 L ,  x n
x1 0
x n
(0)
1

(0)

(0)

(0)

f 2
f 2 y 2  f 2 (x , x 2 , x 3 ,L L x n )  x1
 L ,  x n
x1 0
x n
(0)
1

(0)

(0)

0

(0)

0

LLLLLLLLL
f n
f n y n  f 2 (x , x 2 , x 3 ,L L x n )  x1
 L ,  x n
x1 0
x n
(0)
1

(0)

(0)

(0)

0

Utilizando notação matricial:

 f1

 x1

f1
x 2

L

f1
x n

(0)
(0)
 y1  f1 (x1(0) , x (0)
,
x
,
L
L
x
)
0
0
2
3
n


L
L
L



(0)
(0)
(0)
(0)
 y  f (x , x , x ,L L x )
 f
f 2
f 2
2
3 n  2 2 1
  2
L
x n


 x1 0 x 2 0


 M
M O
LL



 y n  f 2 (x1(0) , x (0) , x (0) ,L L x (0) )
f n
f n
 f n
2
3 n 

L
 x
x n
 1 0 x 2 0

  x1
 M 


0
 M 

 

 
  x 2

0 

 

 
  x  n  

0 


Em que:
J