Módulo de um número complexo

Módulo de um número complexo

Temos duas formas de abordar o módulo de um número complexo, ambas apontando para a mesma definição, que é acerca do comprimento, ou da distância do afixo do número complexo (Ponto C na imagem abaixo) até a origem do sistema de coordenadas. Vejamos a representação geométrica do que foi dito:

O módulo no gráfico acima está sendo representado por |z| (O modulo será representado por z ou pela letra grega ρ), veja que se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo AOC, podemos obter uma expressão para o módulo de z , |z|.

Observamos que essa igualdade vale também para os pontos situados nos eixos. Então podemos dizer que, dado um número complexo z = a + bi, chama-se módulo de z e indica-se por |z| o número real positivo ou nulo dado por:
|z| = √(a^2+b²)
Exemplo:
Vamos determinar o módulo dos seguintes números complexos: Z= 2 + 3i Z= 3i Z= -1 - 2i Z= 1/2
Respostas:
|z|= |2+3i|= √(4+9)= √13 |z|= |3i|= √9=3 |z|= |-1-2i|= √((-1)^2+(-2)^2 )= √(1+4)= √5 |z|= |1/2|= 1/2
“tamanho da distância da origem até a representação geométrica”.
Propriedades do módulo
|z|≥0 é sempre um valor positivo.
|z | .|z |= |z | .|z | o módulo do produto é igual ao produto do módulos.
|z|=0 → z=0 só vai dar zero quando o complexo for zero.
|z|= |z| o módulo do complexo é igual ao módulo do seu conjugado. |(z )/(z )|= |z |/|z | ,z ≠0 O módulo da divisão é igual a divisão dos módulos.
O complexo de baixo tem que ser diferente de zero pra não cair na inesistência. |z |= |z| a potencia de um complexo é igual a potencia do módulo.
Exemplos:
Dado Z1 = 3 + i, Z2 = 1 + 2i e Z3 = 3 + 4i, calcular: |z . z |= |z | .|z | b) |z |= |z | c) |(Z )/(Z )|= |Z |/|Z |

Z1= √(〖(3)²+(1)〗^2 ) Z2= √(〖(1)²+(2)〗^2 ) Z3= √(〖(3)²+(4)〗^2 )
Z1= √(9+1) Z2= √(1+4)