Mínimos Quadrados

Universidade Federal de Mato Grosso
Faculdade de Arquitetura Engenharia e Tecnologia
Curso de Engenharia Elétrica

Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste de Curvas

Cuiabá, MT

Introdução
É bastante comum em engenharia a realização de laboratório para a validação de sistemas reais. Os resultados são obtidos na forma de pontos cujo comportamento demonstra o relacionamento de uma variável independente (ou explicativa) com uma, ou mais, variável dependente (ou resposta). O gráfico destes pontos é chamado de diagrama de dispersão (ver figura 1).

Entretanto, dado um diagrama de dispersão, é pouco provável que haja uma curva que passe exatamente por cada ponto e que descreva fielmente o sistema observado em laboratório. A razão disto é que a obtenção de dados experimentais possuem erros inerentes ao processo. Além do mais, algumas variáveis podem sofrer alterações durante a experiência, o que irá provocar desvios na resposta.
Dessa forma, para definir uma função analítica que descreva o sistema não se deve optar por uma forma polinomial interpolada dos pontos fornecidos, e sim uma curva que melhor se ajusta a estes pontos levando em consideração a existência de erros que, em geral, não são previsíveis (ver figura 2).

Uma das vantagens de se obter uma curva que se ajusta adequadamente a estes pontos, é a possibilidade de prever os valores da função (variável dependente) para valores da variável explicativa que estão fora do intervalo fornecido. Ou seja, é possível fazer uma extrapolação com uma aproximação razoável.

Definição
Inicialmente, vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função linear: yi = a + bxi

Para que esta seja a reta que melhor se ajusta aos dados, devemos minimizar a soma das diferenças entre os valores de f(x) tabelados yi e os valores da curva de ajuste a+bxi em cada ponto. Mas esta diferença pode ser tanto positiva quanto negativa, o que pode ocasionar em