Quadrados minimos

Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departamento de Computação/ICEB/UFOP.

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos
Marcone Jamilson Freitas Souza, Departamento de Computação, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, 35400-000 Ouro Preto, MG, Brasil. Homepage: http://www.decom.ufop.br/prof/marcone, E-mail: [e-mail]

1 Introdução
Em muitas situações, conhece-se uma tabela de pontos (xi , yi ), onde cada yi é obtido experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva y = f (x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. Por exemplo, sabe-se que o número y de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após um determinado número x de horas, cresce exponencialmente com o aumento de x. Neste caso, o número de bactérias cresce com o decorrer das horas na forma y = αeβx . O problema consiste, então, em determinar os valores mais apropriados dos parâmetros α e β desta exponencial.

2 Ajuste a uma reta
Mostremos, inicialmente, como ajustar um conjunto de pontos a uma reta y = a + bx, onde a e b são parâmetros a serem determinados.
Neste caso, estamos interessados em minimizar a distância de cada ponto (xi , yi ) da tabela à cada ponto (xi , a + bxi ) da reta, conforme ilustra a gura 1.

Figura 1: Distância de um ponto (xi , yi ) à reta y = a + bx é: A distância entre esses pontos é |yi − a − bxi | e a soma dos quadrados dessas distâncias

2

Marcone Jamilson Freitas Souza

n

(yi − a − bxi )2

q=

(2.1)

i=1

Os candidatos a ponto de mínimo da função 2.1 são aqueles para os quais são nulos as derivadas parciais de q em relação a cada um de seus parâmetros, isto é: n ∂q
= −2
(yi − a − bxi ) = 0
∂a
i=1

(2.2)

n

∂q
= −2 xi (yi − a − bxi ) = 0
∂b
i=1
Tendo em vista que: n n

=

(yi − a − bxi )

i=1

i=1 n =

i=1

e que:

n

i=1

xi (yi − a − bxi )

yi −

i=1

n

a−

i=1