Método Ponto Fixo

Universidade do Minho – Campus de Azurém – Guimarães Escola de Ciências- Licenciatura em Estatística Aplicada Métodos Computacionais – 2º semestre – Junho 2012

Trabalho prático de Métodos Computacionais – ‘Ponto Fixo’

Sara Castro – 62113
Andreia Sousa- 62115
Método do Ponto Fixo (MPF)
“ Em matemática, define-se ponto fixo como o ponto que não é alterado por uma aplicação. Mais precisamente falando, se é uma função , um ponto fixo de é todo ponto tal que: .
Isto é, sada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma única raíz, f(x) = 0, é possível transformar tal equação numa equação equivalente, x = g(x) e, a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xk} de aproximações para x pela relação xk+1 = g(xk), uma vez que g(x) é tal que f(x) = 0 se e só se g(x) = x. “
Este método, como todos os outros métodos, tem vantagens e desvantagens.
Vantagens:
Rapidez do processo de convergência;
Desempenho regular e previsível.
Desvantagens:
Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração g(x);
Difícil a sua implementação.

Melhor extremo
O método tem sucesso quando | g'(x) | < 1 em todo o intervalo.
Extremo mais rápido se | g'(a) | < | g'(b) |, quando x0 = a, senão, x0 = b.

Enunciado

Este problema, vai ser resolvido usando o Método do Ponto Fixo. Para resolvermos, fizemos a resolução manualmente, bem como através do programa Matlab.

# Resolução manual: f(x)= 1- x2/4=0 ; raízes: Z1= -2; Z2= 2
Método do Ponto Fixo (m.p.f): g(x)= 1 + x – x2/4 I1= [Z1-1; Z1+1] = [-3, -1] I2= [Z2-1; Z2+1] = [1, 3] a) Tendo a função g(x)= 1 + x – x2/4, nota-se que g(x) é contínua em IR, pois é uma função polinomial, logo é contínua em I1 IR e I2 IR. g’(x)= 1- x/2
|g’(-2)|= |1- (-2/2)= 2 > 1 => Divergência do m.p.f.
|g’(2)|= |1-2/2|= 0 Convergência do m.p.f.

b)
Método do Ponto Fixo com x0= -2.5; I = [-3,- 1]
Para calcularmos a iterações, utilizamos a fórmula