Método de Exaustão e sua Contribuição para o Teorema Fundamental do Cálculo

Capítulo 1
O Método de Exaustão
O Método de Exaustão é um método creditado a Eudoxo (390 338 a.C.) e foi muito usado por Arquimedes (287 212 a.C.), ele permitiu o cálculo de várias áreas e volumes e contribuiu para o cáculo do modo como o conhecemos hoje.

1.1

A História do Método de Exaustão

Nesta seção, abordaremos o método de exaustão, seu surgimento, funcionamento e vamos reproduzir o cálculo feito por Arquimedes para descobrir a área da parábola.

1.1.1

Surgimento do Método de Exaustão

O método de exaustão é um método grego usado para calcular áreas ou volumes de regiões usando um cálculo já previamente conhecido, ou seja, para calcular uma área nova, os gregos antigos procuravam uma relação dessa área com uma outra já conhecida por eles, como por exemplo o triângulo ou o retâgulo. Desse modo eles conseguiam achar uma
…gura simples que tivesse a mesma área da …gura desconhecida e assim eles calculavam a nova área. Arquimedes, por exemplo, para calcular a área da parábola, inscreveu um número n de triângulos de modo que quanto maior fosse esse número, menor seria a diferença entre a área da parábola e a soma das áreas dos triângulos. Sendo assim, essa diferença pode ser tão pequena quanto se queira, logo, Arquimedes conseguiu calcular a área de uma parábola usando o cálculo da área de triângulos (veremos a Quadratura da
Parábola por Arquimedes na seção 1.1.2).
Antífon, que viveu por volta de 400 a.C., disse que por sucessivas duplicações do número de lados de um polígono regular inscrito num círculo, a diferença entre o círculo e o polígono ao …m exaurir-se-ia. E como se pode construir um quadrado de área igual
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1.1. A História do Método de Exaustão

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à de qualquer polígono, seria então possível construir um quadrado de área igual à do círculo. Antífon, então, já apresentou a ideia básica do método de exaustão, mas é a
Eudoxo (viveu por volta de 370 a.C.) que é creditado esse método.
O método de exaustão é