Multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Na matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições. Para resolvê-lo, nós poderíamos proceder da maneira tradicional, isto é. resolver a equação de restrição para uma de suas variáveis em termos das outras duas e substituir esse resultado em f. Desta forma, basta utilizar os métodos tradicionais, encontrando os pontos críticos e aplicando o teste da derivada segunda, chegando, assim, ao resultado.
No entanto, essa técnica possui vários inconvenientes, como o fato de devermos ser capazes de resolver a equação g(x) para uma de suas variáveis, o que pode não ser sempre possível – e fácil. Além disso, dependendo das funções em questão, a simples tarefa de substituir a nova equação na primeira certamente demandará em mais cálculos e ajustes que tomarão muito tempo e aumentarão nossas chances de errar.
Felizmente, existem outras formas de se resolver esses problemas e uma delas é através dos multiplicadores de Lagrange.
O Teorema de Lagrange diz que, dada a função objetiva f(x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = 0 (ou k, em alguns casos), os pontos de máximo ou de mínimo da função f são as soluções do sistema , onde λ é chamado de multiplicador de lagrange.
Em muitos casos, λ possui apenas um papel auxiliar na resolução do problema, como no exemplo que vamos resolver abaixo:
Exemplo: Encontre os valores de máximo e de mínimo de f(x,y) =xy, sujeita à restrição x2 + y2 = 25.
Resolução: Primeiro, vamos calcular os gradientes das funções f e g. Fazendo isso, obtemos que ∇f (x,y)= e ∇g (x,y)= .
Com isso, chegamos à conclusão de que . Aplicando-se a propriedade distributiva, obtemos que .
Perceba que os vetores i e j estão presentes em ambos os lados da igualdade; assim, podemos montar o seguinte sistema linear:

Perceba que “passamos” o 25 para o outro lado, igualando a