Movimento Harmônico Simples

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Uma oscilação ocorre quando um sistema em equilíbrio estável é perturbado da sua posição. Um tipo de movimento oscilatório é o movimento harmônico simples, no qual um corpo oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio, descrevendo uma trajetória retilínea. Uma referência desse movimento é o sistema massa-mola. No equilíbrio, a mola não exerce forças sobre o objeto de massa m (a). Figura 1 - Sistema massa-mola e seu diagrama de forças Quando o objeto se afasta da distância x em relação à posição de equilíbrio (b), ele fica submetido a uma força resultante –kx, segundo a lei de Hooke:
F_x=-kx (1)
Sendo k a constante elástica da mola. O sinal negativo indica que a força é restauradora, isto é, sempre contrária ao deslocamento com relação à posição de equilíbrio.
Pela 2a Lei de Newton tem-se:
F_x=ma_x
-kx(t)=m (d^2 x(t))/(dt^2 ) (2)
Uma solução dessa equação diferencial, no caso de um corpo preso a uma mola é: x(t)=Acos(ωt+ϕ) (3)
Em que A é a amplitude(deslocamento máximo do objeto em relação à posição de equilíbrio), ω a frequência angular (ω=2π/T, sendo T o período do movimento), ωt+φ é a fase, e φ é a constante de fase do movimento do objeto. Essa constante depende do tempo inicial t escolhido.
Para a equação (3) ser uma solução da equação diferencial (2), ω=√(k/m), pois: x=Acos(ωt+ϕ) v=dx/dt=-Aωsen(ωt+ϕ) a=dv/dt=-Aω^2 cos⁡(ωt+ϕ)= -ω^2 x
Assim, como a=(k/m)x,ω=√(k/m) c.q.d.
O período T é o intervalo de tempo necessário para o objeto completar uma oscilação em torno da posição de equilíbrio; a frequência f é o inverso do período, que representa o número de oscilações por unidade de tempo.
T=2π√(m/k) (4) [T]=segundos (s) f=1/T (5) [f]=Hertz (Hz)
Gráfico 1 – Tempo(s)X Posição(m) Figura 2 – Nesse gráfico, a amplitude é igual a 5 metros, e o período é 8 segundos
Se a constante de fase do movimento for modificada para 0 ou um múltiplo inteiro de 2π, o gráfico