Mestre

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Bacharelado em Estatística
Processos Estocásticos

Nomes: Mariana Pacheco e Paula Bracco

Processo de Poisson

Um processo de Poisson é uma cadeia de Markov de parâmetro contínuo onde a única mudança permitida a partir de qualquer estado “n” é para o estado “n+1” e tal mudança se processa com uma taxa constante. O tempo entre eventos consecutivos em um processo de Poisson tem distribuição exponencial de parâmetro λ.
Ele pode ser definido em termos das ocorrências de eventos, em outras palavras, se denotarmos este processo como {Nt}t≥0 e fixarmos o tempo no instante t, teremos que Nt é um número inteiro que representa o número de chegadas ou eventos até o instante t. É um processo estocástico a tempo contínuo, com T = [0, ∞), e com espaço de estados E = N = {0, 1, 2, . . . }.
Esses processos são utilizados geralmente como modelos para eventos que ocorrem esparsamente no tempo tais como chamadas telefônicas, aterrissagens de aviões, etc., onde os tempos de espera entre a ocorrência de eventos sucessivos são independentes e identicamente distribuídos, com distribuição exponencial.

Definição do Processo de Poisson
O processo de Poisson é definido pelas seguintes matrizes:

Onde o delta representa a geradora infinitesimal do processo e P(t) representa a matriz de transição.
A equação acima, onde multiplicamos P(t)*Delta representa a equação progressiva do processo, da qual concluímos que a probabilidade de transição entre um estado e outro é igual entre todos estados e é data pela expressão:

A partir dessa expressão podemos verificar que a distribuição limite do processo (quando t∞) tende a zero.
Se realizássemos a multiplicação Delta*P(t) teríamos a equação regressiva do processo. O resultado, no entanto, seria o mesmo.

Tempo entre eventos consecutivos
Seja a variável aleatória T correspondente ao tempo entre o (n-1)-ésimo e o n-ésimo evento. Logo T é dado pela seguinte expressão: